測度論 測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明
R^Nにおける可測集合は，それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし，零集合でない可測集合を2つ用意して，A+Bを考えると，これは開集合を含むようになります。シュタインハウスの定理(Steinhaus's theorem)といわれる本定理を紹介し，証明しましょう。
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測度論 
測度論 【ヴィタリ集合】ルベーグ非可測集合の存在とその証明
ヴィタリ集合(vitali set)とは，剰余群R/Qにおける各代表元の集合を指し，選択公理を仮定することで存在が認められます。ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合の例として有名です。ヴィタリ集合について，その構成とルベーグ非可測であることの証明を行いましょう。
微分方程式 バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明
バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは， 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち，その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて，主張と証明を行いましょう。
群・環・体 体の定義と具体例4つ
数学，とくに代数学における体 (field) とは，四則演算が定義された集合のことを言います。一般に，代数学においては，群はかけ算・わり算が定義された集合，環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合，体は足し算・引き算・かけ算・わり算（四則演算）が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に，体の定義と具体例を述べましょう。
測度論 本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か
測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは，零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について，ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
関数解析学 ミンコフスキーの不等式とその証明
ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは，L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について，その証明を行いましょう。
関数解析学 ヘルダーの不等式とその証明
ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)とは，関数解析学における基本的な不等式であり，コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。ヘルダーの不等式について，その主張と証明を分かりやすく紹介します。
群・環・体 素元と既約元について～倍元・約元・同伴～
可換環，特に整域における素元 (prime element) と既約元 (irreducible element) の概念について，その定義・具体例・性質を解説しましょう。関連する概念として，倍元・約元・同伴の定義も紹介します。
群・環・体 素イデアルと極大イデアルの定義・具体例・性質
可換環論における，素イデアルとは整数における素数の概念を拡張したものであり，極大イデアルとは，真のイデアルのうち，包含関係に関して極大なものを指します。素イデアル・極大イデアルについて，その定義・具体例・性質を解説しましょう。
群・環・体 剰余環(商環)とは～定義と具体例～
剰余環 (factor ring)，あるいは商環(quotient ring)とは，両側イデアルによる同値類で割った商集合に入る環構造を指します。剰余環を調べることは，環論において最も基本的なことの一つです。剰余環について，定義がwell-definedであることと，具体例を挙げましょう。