ヤングの不等式の証明とその一般化

ヤングの不等式とは，任意の $a,b\ge 0$ と $1/p+1/q=1$ をみたす $p,q>1$ に対し，

ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}

という不等式のことを言います。これについて，証明とその発展形を紹介しましょう。

ヤングの不等式とは

定理（ヤングの不等式; Young’s inequality）

$a,b\ge 0,\; p,q>1$ かつ $1/p+1/q=1$ とする。このとき，

\color{red} \large ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}

であり，等号成立は $a^p=b^q$ のとき。

ヤングの不等式は，相加相乗平均の不等式の一般化になっています。実際， $p=q=1/2$ とすると，

ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}

ですね。

ヤングの不等式を証明しましょう。もっとも一般的なのは，凸関数の議論を用いることです。

証明

$a=0$ または $b=0$ のときは明らかなので， $a,b>0$ としてよい。 $x\mapsto \log x$ は凹関数( $-\log$ が凸関数)なのと， $1/p+1/q=1$ より，

\begin{aligned}\log ab =\log a+\log b&=\frac{1}{p} \log a^p +\frac{1}{q}\log b^q \\&\le \log\left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\end{aligned}

である(上は $a^p<b^q$ のときの図)。特に， $x\mapsto \log x$ は狭義凸なので，等号成立は $a^p=b^q$ のときである。両端辺を比較することで，

ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}

を得る。

証明終

定理（積分型のヤングの不等式）

$f\colon [0,c] \to [0,f(c)]$ を $f(0)=0$ をみたす狭義単調増加な連続関数とする。このとき， $0\le a\le c ,\; 0\le b\le f(c)$ に対し，

\color{red} ab\le \int_0^a f(x)\,dx +\int_0^b f^{-1}(x)\,dx

これの証明は，下の図を見れば一発で分かるでしょう。

この式に， $f(x)=x^{p-1}$ を入れると，

\begin{aligned}ab&\le \int_0^a x^{p-1}\,dx +\int_0^b x^{1/(p-1)}\,dx \\ &= \left[\frac{1}{p} x^p\right]_0^a + \left[ \frac{p-1}{p} x^{p/(p-1)} \right]_0^b \\ &= \left[\frac{1}{p} x^p\right]_0^a + \left[ \frac{1}{q} x^{q} \right]_0^b \\ &=\frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q} \end{aligned}

ですから，前半のヤングの不等式の一般化になっていますね。

ヤングの不等式は，解析学においてヘルダーの不等式など，別の不等式の証明に使われます。ヘルダーの不等式は以下で解説しています。