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ラドンニコディムの定理とその2通りの証明

測度論
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ラドンニコディムの定理と呼ばれる,測度論における「微分」を扱う定理を紹介しましょう。

これは確率論における条件付き期待値にも使われる概念であり,とても重要です。

ラドンニコディムの定理

ラドンニコディムの定理 (Radon–Nikodym theorem)

(X,\mathcal{F})可測空間 \mu,\nu をその上のσ有限測度とする。さらに \nu \mu に関して絶対連続(\color{red}\nu \ll \mu)とする。このとき, \mu に関して局所可積分な非負関数 f\in L^1_{\mathrm{loc},+}(\mu) が(\mua.e.の意味で)一意的に存在して,

\color{red}\nu(A)=\int_A f \, d\mu,\quad A\in \mathcal{F}


とかける。このときの f\color{red} \dfrac{d\nu}{d\mu} とかき,ラドンニコディム密度 (Radon-Nikodym density) またはラドンニコディム微分 (Radon-Nikodym derivative) という。

\nu \mu に関して絶対連続 (absolutely continuous) とは, \mu(A)=0\implies \nu(A)=0 が成り立つことです(→測度の絶対連続性・同値性・特異性とルベーグ分解)。

f 局所可積分 (locally integrable) とは, A\in\mathcal{F} \mu(A)<\infty をみたすならば \int_A |f|\ d\mu<\infty をみたすということです。

なお,\mu,\nuσ有限な測度というのは,本定理の本質です。実際, (\R, \mathcal{B}(\R)) 上の数え上げ測度 \#,ルベーグ測度を \mu とすると,数え上げ測度はσ有限ではなく,一方 \mu \ll \# は成立します。このとき,もし f\in L^1_{\mathrm{loc},+}(\#)

\mu(A)= \int_A f \, d\#


をみたすものが存在したとすると, A=\{a\} とすることで, f(a)=0 となりますが,これだと \mu が零測度になってしまい矛盾してしまいます。

ラドンニコディムの定理の2通りの証明

ラドンニコディムの定理

ラドンニコディムの定理の証明を,

  1. 測度論を用いた証明
  2. 関数解析を用いた証明

の2通り紹介しましょう。

1. 測度論を用いた証明

測度論を用いた証明

一意性は【数学科向け】ルベーグ積分の定義を段階を踏んで解説するの定理A.5より明らかなので,存在について示す。

まず,\mu,\nu を有限測度とする。

F=\left\{ g \in L_+^1(\mu) \middle| \forall A\in \mathcal{F}, \int_A g\, d\mu\le \nu(A) \right\}


とする。 0\in F より, F\ne \emptyset である。ここで, g_1, g_2\in F とすると, \max\{ g_1, g_2\}\in F である。実際,任意の A\in\mathcal{F} に対し,

\begin{aligned} &\int_A \max\{ g_1, g_2\}\, d\mu\\ &= \int_{A\cap \{ g_1\ge g_2\}} g_1\, d\mu +\int_{A\cap \{ g_1< g_2\}} g_2\, d\mu \\ &\le \nu(A\cap \{ g_1\ge g_2\})+\nu(A\cap \{ g_1< g_2\}) \\ &= \nu(A) \end{aligned}


であるからである。ここで, \{g_n\} \subset F

\lim_{n\to\infty} \int_X g_n\, d\mu=\sup_{g\in F} \int_X g\, d\mu


となるように定める。 f_n =\max\{ g_1, g_2, \dots, g_n\} とすると, \{ f_n\}\subset F は増大列であり,

\lim_{n\to\infty} \int_X f_n\, d\mu=\sup_{g\in F} \int_X g\, d\mu


である。 f=\lim_{n\to\infty } f_n と定めると,単調収束定理より,

\int_X f\, d\mu=\sup_{g\in F} \int_X g\, d\mu


であり,さらに同じ定理から f\in F もわかる。ここで, f が求めるものであることを背理法で示す。ある A\in \mathcal{F} で,\int_A f\, d\mu < \nu(A) を仮定する。このとき,\int_X f\, d\mu < \nu(X) である。 そこで,

\nu_0(A)=\nu(A)-\int_A f\, d\mu,\quad A\in\mathcal{F}


として測度 \nu_0 を定義する。\nu_0(X)>0 であるから,ある \varepsilon >0 が存在して, \nu_0(X)>\varepsilon \mu(X) とできる。符号付き測度 \nu_0-\varepsilon \mu におけるハーンの分解 X=X_+\cup X_- とする。 (\nu_0-\varepsilon\mu)(X)>0 より, (\nu_0-\varepsilon\mu)(X_+)>0 である。このとき, A\in\mathcal{F} に対し, \nu_0(A\cap X_+)\ge \varepsilon \mu(A\cap X_+) であり,

\begin{aligned} \int_A(f+\varepsilon 1_{X_+})\, d\mu &= \int_A f\, d\mu +\varepsilon\mu(A\cap X_+) \\ &\le \int_A f\, d\mu +\nu_0(A\cap X_+) \\ &\le \int_A f\, d\mu +\nu_0(A) \\ &= \nu(A) \end{aligned}


なので, f+\varepsilon 1_{X_+}\in F である。 \mu(X_+)=0 とすると,絶対連続性より \nu(X_+)=0 となって, (\nu_0-\varepsilon\mu)(X_+)>0 に矛盾する。したがって, \mu(X_+)>0 であり,

\begin{aligned} \int_X (f+\varepsilon 1_{X_+})\, d\mu &> \int_X f\, d\mu \\ &=\sup_{g\in F} \int_X g\, d\mu \end{aligned}


であるが,これは矛盾している。よってやはり f が求めるものである。

\mu, \nuσ有限のとき

全体空間 X をどの2つも互いに素な \{X_n\} で, \mu(X_n),\nu(X_n)<\infty となるものに分割して同様のことを考えればよい。

証明終

2. 関数解析を用いた証明

ヒルベルト空間論を用いた証明も紹介しておきましょう。関数解析の知識が必要です。

関数解析を用いた証明

一意性は【数学科向け】ルベーグ積分の定義を段階を踏んで解説するの定理A.5より明らかなので,存在について示す。

まず,\mu,\nu を有限測度とする。

g\colon X\to \R g\in L^2(\mu+\nu) とする。コーシーシュワルツの不等式より,

\begin{aligned}&\int|g| \,d(\mu+\nu) \\ &\le \left(\int |g|^2\,d(\mu+\nu) \right)^{1/2} \left(\int 1^2\,d(\mu+\nu) \right)^{1/2} \\ &= \|g\|_{L^2(\mu+\nu)}\sqrt{ (\mu+\nu)(X)}. \end{aligned}


ゆえに L^2(\mu+\nu)\subset L^1(\mu+\nu)\subset L^1(\mu) である。したがって,

\varphi(g)=\int g\, d\mu


によって,線形汎関数 \varphi\colon L^2(\mu+\nu)\to\R が定まり,有界である。 リースの表現定理より,ある f_1\in L^2_+(\mu+\nu) が存在して,

\int g\, d\mu = \int gf_1\, d(\mu+\nu),\quad g\in L^2(\mu+\nu)


とできる。同様にある f_2\in L^2_+(\mu+\nu) が存在して,

\int g\, d\nu = \int g f_2\, d(\mu+\nu),\quad g\in L^2(\mu+\nu)


とできる。辺々足し算すると, \int g\, d(\mu+\nu)=\int g (f_1+f_2)\, d(\mu+\nu) となるため, f_1+f_2=1,\, (\mu+\nu)\text{-a.e.} がわかる。ここで,

\begin{aligned}\mu(f_1=0)&=\int 1_{\{f_1=0\}}\, d\mu \\&= \int 1_{\{f_1=0\}}f_1\, d(\mu+\nu)=0 \end{aligned}


であり,さらに \nu\ll\mu より (\mu+\nu)(f_1=0)=0 である。したがって, (\mu+\nu)\text{-a.e.} の意味で

f=\frac{f_2}{f_1}


と定義できて,任意の g\in L^2(\mu+\nu)

\begin{aligned} \int gf\, d\mu &= \int gff_1\, d(\mu+\nu) \\ &= \int gf_2\, d(\mu+\nu) \\ &= \int g\, d\nu \end{aligned}


となる。 g=1_{A} とすることで,結論を得る。

\mu, \nuσ有限のとき

全体空間 X をどの2つも互いに素な \{X_n\} で, \mu(X_n),\nu(X_n)<\infty となるものに分割して同様のことを考えればよい。

証明終

符号付き測度・複素測度におけるラドンニコディムの定理

ラドンニコディムの定理は,\nu を符号付き測度や複素測度に拡張することが可能です。

ラドンニコディムの定理2 (Radon–Nikodym theorem)

(X,\mathcal{F})可測空間 \mu をその上のσ有限測度\nu σ有限符号付き測度(複素測度)とする。さらに \nu \mu に関して絶対連続(\color{red}\nu \ll \mu)とする。このとき, \mu に関して局所可積分な実数値関数(複素数値関数) f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mu) が(\mua.e.の意味で)一意的に存在して,

\color{red}\nu(A)=\int_A f \, d\mu,\quad A\in \mathcal{F}


とできる。このときの f\color{red} \dfrac{d\nu}{d\mu} とかき,ラドンニコディム密度 (Radon-Nikodym density) またはラドンニコディム微分 (Radon-Nikodym derivative) という。

符号付き測度がσ有限とは,測度 |\nu|=\nu_++\nu_- がσ有限であることを指し,複素測度がσ有限とは,符号付き測度 \operatorname{Re}\nu , \operatorname{Im} \nu が共にσ有限であるとします(記号は符号付き測度・複素測度の定義と分解定理内のものを用いた)。

証明は,ジョルダンの分解定理により \nu を分解して考えれば明らかです。

測度の微分はラドンニコディム微分

ここまで,

\nu(A)=\int_A f \, d\mu,\quad A\in \mathcal{F}


となる f d\nu/d\mu とかきました。ここでは, \mu をルベーグ測度としましょう。このとき,以下が成り立つことが知られています。

\color{red}\lim_{h\to 0}\frac{\nu(x,x+h)}{\mu(x, x+h)}=\frac{d\nu}{d\mu}(x) ,\quad \mu\text{-a.e.}


ここで,\mu(x,x+h)=h です。ラドンニコディム微分は,本当の意味で微分だということですね。詳しくは以下で解説しています。

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