収束する数列は有界であることの証明

収束する数列は有界であることを証明します。数列の極限を厳密に定義する $\varepsilon \text{-} N$ 論法の演習の一つとしても最適なので，しっかり確認しましょう。

定理の主張～収束⇒有界～

定理（収束する数列は有界）

$\{a_n\}$ を収束する数列とする。このとき，この数列は有界である。

証明する前に「収束する」の定義，「有界である」の定義を復習しておきます。

定義（数列の収束）

$\{a_n\}$ を数列とする。 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束する (converge) とは，

任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある $N \ge 1$ が存在して，

n \ge N \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon

となることである。

イプシロンエヌ論法ですね。これについては，以下の記事で長文にわたって詳しく解説しています。

定義（数列の有界性）

$\{a_n\}$ を数列とする。 $\{a_n\}$ が有界である (bounded) とは，

ある $K > 0$ が存在して，

|a_n| \le K, \quad (n \ge 1 )

となることである。

各 $n \ge 1$ によらずに，大きさが定数 $K$ で抑えられるということですね。これについては，以下でも解説しています。

さて，定理を証明していきましょう。

証明

$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ とする。 $\varepsilon > 0$ を一つ定めると，収束の定義から，ある $N \ge 1$ が存在して，

n \ge N \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon

となる。ここで，

K = \max\{|a_1|, |a_2|,\ldots, |a_{N-1}|, |\alpha| + \varepsilon\}

と定めると，

|a_n| \le K, \quad (n \ge 1 )

であり，有界である。

証明終

証明は短いかもしれません。図で表現すると，以下のような理屈です。

この定理は周知の事実ですから，しっかりと覚えておきましょう。

ここまで，「収束 $\implies$ 有界」を証明しましたが，一般に逆，すなわち「有界 $\implies$ 収束」は成立しません。

ですが，部分列であれば，収束するものが存在することが知られています。これを，ボルツァノ－ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano－ Weierstrass Theorem) と言います。これの証明は，以下の記事で解説しています。