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収束する数列は有界であることの証明

微分積分学(大学)
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収束する数列は有界であることを証明します。数列の極限を厳密に定義する \varepsilon \text{-} N 論法の演習の一つとしても最適なので,しっかり確認しましょう。

定理の主張~収束⇒有界~

定理(収束する数列は有界)

\{a_n\} を収束する数列とする。このとき,この数列は有界である。

証明する前に「収束する」の定義,「有界である」の定義を復習しておきます。

収束・有界の定義の復習

定義(数列の収束)

\{a_n\} を数列とする。 \{a_n\} \alpha 収束する (converge) とは,

任意の \varepsilon > 0 に対して,ある N \ge 1 が存在して,

n \ge N \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon


となることである。

イプシロンエヌ論法ですね。これについては,以下の記事で長文にわたって詳しく解説しています。

定義(数列の有界性)

\{a_n\} を数列とする。 \{a_n\} 有界である (bounded) とは,

ある K > 0 が存在して,

|a_n| \le K, \quad (n \ge 1 )


となることである。

n \ge 1 によらずに,大きさが定数 K で抑えられるということですね。これについては,以下でも解説しています。

定理の証明

さて,定理を証明していきましょう。

証明

\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha とする。 \varepsilon > 0 を一つ定めると,収束の定義から,ある N \ge 1 が存在して,

n \ge N \implies |a_n - \alpha | < \varepsilon


となる。ここで,

K = \max\{|a_1|, |a_2|,\ldots, |a_{N-1}|, |\alpha| + \varepsilon\}


と定めると,

|a_n| \le K, \quad (n \ge 1 )


であり,有界である。

証明終

証明は短いかもしれません。図で表現すると,以下のような理屈です。

収束する数列は有界であることのイメージ図

この定理は周知の事実ですから,しっかりと覚えておきましょう。

逆は成り立たないが,収束部分列は存在する

ここまで,「収束 \implies 有界」を証明しましたが, 一般に逆,すなわち「有界 \implies 収束」は成立しません。

ですが,部分列であれば, 収束するものが存在することが知られています。これを,ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano- Weierstrass Theorem) と言います。これの証明は,以下の記事で解説しています。

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