直積位相とは～定義・具体例・性質～

直積位相または積位相とは，位相空間の直積集合上に定義される位相のことです。各射影によって誘導される始位相，すなわち各射影が連続となるような最小の位相として定義されます。

直積位相について，その定義と具体例・性質を述べましょう。最後には，箱型積位相とよばれる，直積位相よりも大きい（細かい・強い）位相も考えます。

直積位相の定義
直積位相の例
直積位相の性質
箱型積位相
関連する記事

直積位相の定義

$(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない集合とすると，その直積集合は，

\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}= \Bigl\{\! f\colon \! \Lambda \to \bigcup_{\lambda\in\Lambda} \! X_\lambda \Bigm|f(\lambda) \in X_\lambda \;(\lambda\in\Lambda) \!\Bigr\}

と定義されます(→【直積集合】集合の直積について詳しく～具体例10個～)。 $\Lambda$ が無限集合のとき，直積集合が空でないかどうかは一般には自明ではなく，選択公理が必要です。本記事では選択公理を認めて，位相空間の直積に位相を定義しましょう。

ここで，直積集合上の自然な射影 $p_\lambda\colon \prod_{\mu\in\Lambda} X_{\mu}\to X_\lambda$ は， $p_\lambda \colon f\mapsto f(\lambda)$ と定義されます。

定義1（直積位相）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。

このとき，射影 $p_\lambda \colon \prod_{\mu\in\Lambda} X_{\mu}\to X_\lambda$ の族 $(p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ によって誘導される始位相 $\mathcal{O}$ を直積位相または積位相 (product topology) またはチコノフ位相 (Tychonoff topology) といい，位相空間 $(\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda},\mathcal{O})$ を直積空間または積空間 (product space) という。

直積位相 $\mathcal{O}$ は

\begin{aligned}&\{ {p_\lambda}^{-1}(U_\lambda)\mid \lambda\in \Lambda, \, U_\lambda\in \mathcal{O}_\lambda\} \\ &= \left\{ \prod_{\mu\in\Lambda}U_{\mu}\middle| \begin{gathered} \lambda\in \Lambda, \, U_\lambda\in \mathcal{O}_\lambda,\\ U_\mu =X_\mu \,(\mu\ne \lambda)\end{gathered}\right\} \end{aligned}

を準開基とする位相，すなわち

\begin{aligned}&\left\{ \bigcap_{k=1}^n {p_{\lambda_k}}^{-1}(U_{\lambda_k})\middle|\begin{gathered} n\ge 1,\, \lambda_1,\ldots, \lambda_n \in \Lambda, \\ U_{\lambda_k}\in \mathcal{O}_{\lambda_k}\,(k=1,\ldots, n)\end{gathered}\right\} \\ &= \left\{ \prod_{\mu\in\Lambda}U_{\mu}\middle| \begin{gathered}n\ge 1,\, \lambda_1,\ldots, \lambda_n \in \Lambda, \\ U_{\lambda_k}\in \mathcal{O}_{\lambda_k}\,(k=1,\ldots, n),\\ U_\mu =X_\mu \,(\mu\ne \lambda_1,\ldots, \lambda_n)\end{gathered}\right\} \end{aligned}

を開基とする位相である。

開基の定義より，直積空間 $(\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda},\mathcal{O})$ において， $O\subset \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ が開集合であるとは，任意の $x\in O$ に対し，

ある $n \ge 1$ と $\lambda_1,\ldots, \lambda_n\in \Lambda$ と $U_{\lambda_1}\in\mathcal{O}_{\lambda_1},\ldots, U_{\lambda_n}\in\mathcal{O}_{\lambda_n}$ が存在して， $\mu\ne \lambda_1,\ldots, \lambda_n$ のとき $U_\mu=X_\mu$ (有限個の $\mu$ を除いて全体集合) とすると，

x\in \prod_{\mu\in\Lambda}U_{\mu}\subset O

とかけることをいいます。 $\prod_{\mu\in\Lambda}U_{\mu}$ が，有限個を除いて全体集合の直積であることがポイントです。有限個の位相空間 $\{(X_k, \mathcal{O}_k)\}_{k=1}^n$ の直積 $X_1\times\cdots\times X_n$ における直積位相は，単に

\{U_1\times \cdots\times U_n\mid U_k\in\mathcal{O}_k\,(k=1,\ldots, n)\}

を開基とする位相です。

直積位相の例

例1( $\R^n$ ).

$\R^n$ を $n$ 次元ユークリッド空間とみた距離から定まる位相と，直積空間としてみたときの位相は一致する

$O\subset \R^n$ が前者の意味で開集合であるとは，任意の $x\in O$ に対し， $\varepsilon >0$ 近傍 $B_\varepsilon(x)$ があって，

x\in B_\varepsilon (x)\subset O

とできることでした。一方で $O\subset \R^n$ が後者の意味で開集合であるとは，直積位相の定義より，任意の $x\in O$ に対し，開区間 $(x_k, y_k)\subset\R$ があって，

x\in (x_1, y_1)\times\cdots\times (x_n, y_n) \subset O

とできることをいいます。これらの定義から，前者の意味で開集合なら，後者の意味で開集合だし，逆に後者の意味で開集合なら前者の意味で開集合なのが分かります。

例2(カントール集合).

$C\subset [0,1]$ をカントール集合(カントールの三進集合)とすると， $C\cong \{0,1\}^\mathbb{N}$ である。ただし， $\{0,1\}$ には離散位相が入っていて， $\cong$ は同相(位相同型)の意味。

カントール集合 $C$ には， $\R$ から定まる相対位相が入っているものとします。 $\{0,1\}^\mathbb{N}$ は，

\begin{aligned} \{0,1\}^\mathbb{N}&=\prod_{n\in\mathbb{N}}\{0,1\} \\ &= \{ (x_n)\mid x_n \in \{0,1\}\}\end{aligned}

すなわち， $\{0,1\}$ -値のみ取る数列全体の集合を指します。 $2^\mathbb{N}$ や， $2^\omega$ とかくこともあります。この直積位相の開基は，

\Bigl\{ \{(x_n)\mid x_n = a_n \, (1\le n\le k) \}\Bigm| k\ge 1,\, a_n\in \{0,1\} \Bigr\}

すなわち，「最初の有限個の値のみ決まっている数列全体の集合」を元にもちます。

$f\colon \{0,1\}^\mathbb{N}\to C$ を

f((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2x_n}{3^n}

と定めると， $f$ は全単射です。 $f$ が同相写像であることを確認しましょう。

$(a_n)\in \{0,1\}^\mathbb{N},\, c=f((a_n))\in C$ とし， $c\in V\subset C$ を $C$ における $c$ の任意の近傍としましょう。相対位相の定義より，ある $k\ge 1$ が存在して， $(c-1/3^k , c+1/3^k)\cap C\subset V$ とできます。 $(a_n)=f^{-1}(c)$ とすると，

\begin{aligned}&(a_n)\subset \left\{(x_n)\middle|\begin{gathered} x_n=a_n \,(1\le n\le k+1), \\ x_n\in \{0,1\},\, (n\ge k+2)\end{gathered}\right\} \\&\subset f^{-1} ((c-1/3^k , c+1/3^k)\cap C)\subset f^{-1}(V) \end{aligned}

であり，左から二番目の集合は $\{0,1\}^\mathbb{N}$ における開集合なので， $f^{-1}(V)$ は $(a_n)=f^{-1}(c)$ の近傍です。よって位相空間における連続写像の定義と性質を詳しくの定理1.3から， $f$ は連続だとわかります。

逆に， $(a_n)\subset U\subset \{0,1\}^\mathbb{N}$ を任意の近傍とすると，近傍や開基の定義から，ある $k\ge 1$ があって，

(a_n)\subset \{ (x_n)\mid x_n=a_n \,(1\le n\le k)\} \subset U

とできます。ここで，中辺の集合を $O$ とおくと， $l\equiv 0$ または $2\pmod{3}$ が存在して，

f(O)=\left[\frac{l}{3^k}, \frac{l+1}{3^k}\right]\cap C = \left(\frac{l-1/2}{3^k}, \frac{l+3/2}{3^k}\right)\cap C

とあらわせるので， $f(U)$ は $c=f((a_n))$ の近傍です。よって $f^{-1}$ も連続であることが言えたので， $f$ は同相写像であることが示せました。

例3(無理数全体の集合).

$\R\setminus \mathbb{Q}\cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。ただし，正の整数の集合 $\mathbb{N}$ には離散位相が入っていて， $\cong$ は同相(位相同型)の意味。

$\R\setminus \mathbb{Q}$ は無理数全体の集合で， $\R$ からの相対位相が入っているとします。 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ は正の整数値をもつ数列全体の集合です。 $\omega^\omega$ とかくこともあります。

まず， $\mathbb{N}^\mathbb{N}\cong \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ です。同相写像 $f\colon \mathbb{Z}^\mathbb{N}\ni (a_n)\mapsto p\in \R\setminus \mathbb{Q}$ を構成しておきましょう。

まず， $\mathbb{Q}=( q_n)$ によって，全ての有理数が1度ずつ出現する有理数列を構成しておきましょう。有理数全体の集合は可算集合ですから，これは可能です。まず， $\R$ を次のように閉区間 $I_j=[x_j, x_{j+1}]\; (j\in\mathbb{Z})$ に分割します。

各区間の端点は有理数，すなわち $x_j \in \mathbb{Q}$
各区間の幅は $0$ より大きく $1$ 以下，すなわち $0< x_{j+1}-x_j\le 1$
$I_j$ のうち，ある区間の端点は $q_1$ である。すなわち， $\exists j, x_j=q_1$

定義より， $x_j\xrightarrow{j\to\pm\infty} \pm\infty$ です。

次に，各 $I_j$ を次のように $I_{j,k}=[x_{j,k}, x_{j,k+1}] \; (k\in\mathbb{Z})$ に分割します。

各区間の端点は有理数，すなわち $x_{j,k} \in \mathbb{Q}$
各区間の幅は $0$ より大きく $1/2$ 以下，すなわち $0< x_{j+1}-x_j\le 1/2$
$I_j, I_{j,k}$ のうち，ある区間の端点は $q_2$ である。すなわち， $\exists j, x_j=q_2 \text{ or } \exists j, \exists k, x_{j,k}=q_2$

定義より， $x_{j,k}\xrightarrow{k\to-\infty}x_j, \, x_{j,k}\xrightarrow{k\to\infty}x_{j+1}$ です。

さらに，各 $I_{j,k}$ を次のように $I_{j,k,l}$ に分割します。

各区間の端点は有理数
各区間の幅は $0$ より大きく $1/2^2$ 以下
$I_j, I_{j,k},I_{j,k,l}$ のうち，ある区間の端点は $q_3$ である。

以下帰納的に，同様の作業を繰り返して区間 $I_{j,k,l,m,\ldots}$ を定めましょう。区間縮小法の原理より， $(a_n)\in \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ に対し，

\bigcap_{n=1}^\infty I_{a_1, a_2,\ldots, a_n} =\{p\}

となる $p\in\R$ が存在します。ここで， $p\in \R\setminus \mathbb{Q}$ です。もし $p\in\mathbb{Q}$ とすると，ある $n$ で $p=q_n$ とかけます。このとき， $p$ はある閉区間 $I_{a_1}, I_{a_1, a_2}, \ldots,I_{a_1,\ldots, a_n}$ の端点になってしまい，そうなってしまうと， $p\in I_{a_1, a_2, \ldots, a_{n+1}}$ となる $a_1, a_2, \ldots, a_{n+1}\in\mathbb{Z}$ は存在しないので，矛盾しています。

このときの写像 $f\colon (a_n)\mapsto p$ は同相写像になっています。詳しくは演習問題とします。

例4(トーラス).

$S^1=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}$ を単位円とし， $\R^2$ から定まる相対位相が入っているとする。このとき， $S^1\times S^1$ をトーラス (torus)という。

ドーナツの表面のような図形のことです。

直積位相の性質

以下，断りなく $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ には直積位相が入っているものとします。

1. 射影は開写像

定理1（射影は開写像）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。

このとき，各射影 $p_\lambda \colon \prod_{\mu\in\Lambda} X_{\mu}\to X_\lambda$ は開写像である。すなわち，開集合の像が開集合となる。

なお，射影は閉写像とは限りません。たとえば， $\R^2$ における $H= \{(x,1/x)\mid x\in \R\setminus \{0\}\}$ は閉集合ですが，その射影 $p_1(H)=\R\setminus \{0\}$ は閉集合ではありません。

証明

$O\in\mathcal{O}$ とすると，直積位相の定義より，任意の $x\in O$ に対して，

\prod_{\mu\in\Lambda}U_{\mu}\subset O

とできる。このとき， $\lambda \ne \lambda_1,\ldots, \lambda_n$ ならば $p_\lambda(O)=X_\lambda$ となるから，開集合となり， $\lambda = \lambda_k$ ならば，

p_\lambda(x)\in U_\lambda\subset p_\lambda(O)

が成り立つので， $p_\lambda(O)$ は開集合である。ゆえに， $p_\lambda$ は開写像である。

証明終

2. 直積位相と内部(開核)・閉包

定理2（直積位相と内部(開核)・閉包）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。また， $A_\lambda\subset X_\lambda\, (\lambda\in\Lambda)$ とする。このとき，

$\overline{ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}}= \prod_{\lambda\in\Lambda}\overline{A_{\lambda}}$
$\operatorname{Int}(A_1\times \cdots\times A_n) = \operatorname{Int}(A_1)\times\cdots\times \operatorname{Int}(A_n)$

である。ただし， $\overline{\hspace{5pt}\cdot\hspace{5pt}}$ は閉包を表し， $\operatorname{Int}(\cdot)$ は内部(開核)を表す。特に，閉集合の直積は閉集合で，開集合の有限個の直積は開集合である。

閉包は無限個の直積と交換可能ですが，内部(開核)は有限個のときしか無理です。

内部(開核)が有限個のときしか交換可能でないことを確認しましょう。たとえば，実数 $\R$ の可算個の直積 $\R^{\mathbb{N}}=\prod_{n\in\mathbb{N}}\R$ について，

\begin{aligned}\prod_{n\in\mathbb{N}}\operatorname{Int}([0,1])&= \prod_{n\in\mathbb{N}}(0,1),\\ \operatorname{Int}\left(\prod_{n\in\mathbb{N}}[0,1]\right) &= \emptyset \end{aligned}

となります。 $\R^{\mathbb{N}}$ の開基は，有限個を除いて全体集合の直積ですから， $\prod_{n\in\mathbb{N}}[0,1]$ に含まれる開基の元は存在しないので，2つ目の式は空集合になります。

証明

1.について， $x=(x_\lambda) \in \overline{ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}}$

$\iff$ 直積位相における任意の開集合 $x\in O$ に対し， $O\cap \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \ne \emptyset$

$\iff$ 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対し，以下が成立: $X_\lambda$ における任意の開集合 $x_\lambda\in O_\lambda$ に対し， $O_\lambda \cap A_\lambda \ne \emptyset$

$\iff$ 任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し， $x_\lambda\in \overline{A_\lambda}$

\iff x=(x_\lambda)\in \prod_{\lambda\in\Lambda}\overline{A_{\lambda}}

なので示せた。

2.について， $A_1\times \cdots\times A_n \supset \operatorname{Int}(A_1)\times\cdots\times \operatorname{Int}(A_n)$ かつ右辺は開集合であることから， $\operatorname{Int}(A_1\times \cdots\times A_n) \supset \operatorname{Int}(A_1)\times\cdots\times \operatorname{Int}(A_n)$ であることはよい。

逆に $x\in \operatorname{Int}(A_1\times \cdots\times A_n)$ とすると，直積位相の定義より，ある $U_k\in\mathcal{O}_k\,(k=1,\ldots, n)$ があって，

\begin{aligned}x&\in U_1\times\cdots\times U_n \subset \operatorname{Int}(A_1\times \cdots\times A_n) \end{aligned}

とできる。各 $k$ で $U_k \subset A_k$ であり， $U_k$ は開集合なので $U_k\subset \operatorname{Int}(A_k)$ である。したがって，

x\in \operatorname{Int}(A_1)\times\cdots\times \operatorname{Int}(A_n)

となる。よって逆の包含も言えた。

証明終

2.の証明について，「直積位相の定義より」の後の部分が，無限個の直積だと破綻します。よって，2.は有限個しか言えません。

3. 直積位相と分離公理

定理3（直積位相と分離公理）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とし， $(\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda},\mathcal{O})$ を直積空間とする。

このとき，各 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ がハウスドルフ空間 (resp. $T_0, T_1$ 空間) ならば，直積空間もハウスドルフ空間 (resp. $T_0,T_1$ 空間) である。

$T_0$ 空間は【位相空間】コルモゴロフ空間(T0空間)の定義と具体例で， $T_1$ 空間は【位相空間】T1空間の定義・具体例と性質で解説しています。

証明

ほぼ同じなので，ハウスドルフ空間のときに示す。

$(x_\lambda),(y_\lambda)\in \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ を異なる2点とすると，ある $\lambda \in\Lambda$ が存在して， $x_{\lambda}\ne y_{\lambda}$ である。 $X_{\lambda}$ はハウスドルフ空間なので，ある開集合 $U_1, U_2\in\mathcal{O}_\lambda$ があって，

x_{\lambda}\in U_1, \, y_{\lambda}\in U_2,\, U_1\cap U_2=\emptyset

とできる。このとき， ${p_{\lambda}}^{-1}(U_1),{p_{\lambda}}^{-1}(U_2)\in\mathcal{O}$ であって，

\begin{gathered} x\in {p_{\lambda}}^{-1}(U_1), \, y\in {p_{\lambda}}^{-1}(U_2),\\ {p_{\lambda}}^{-1}(U_1)\cap {p_{\lambda}}^{-1}(U_2)=\emptyset\end{gathered}

なので，題意は示された。

証明終

4. 直積位相とコンパクト性

定理4（直積位相とコンパクト性）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。

このとき，各 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ がコンパクト空間ならば，直積空間もコンパクト空間である。

定理2はチコノフの定理 (Tychonoff’s theorem) といい，証明には選択公理が必要です。

いずれ別の記事で証明しましょう。

5. 直積位相と連結性

定理5（直積位相と連結性）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。

このとき，各 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ が連結 (resp. 弧状連結) ならば，直積空間も連結 (resp. 弧状連結) である。

6. 直積位相と可算公理

定理6（直積位相と可算公理）

各 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ が第一可算公理 (resp. 第二可算公理) をみたすならば，その可算個の直積も第一可算公理 (resp. 第二可算公理) をみたす。ただし，非可算個の直積だとみたすとは限らない。
各 $(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)$ が可分ならば，その可算個の直積も可分である。ただし，非可算個の直積だと可分とは限らない。

7. 直積位相と普遍性

定理7（直積位相と普遍性）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。さらに， $(W,\mathcal{O}_W)$ を位相空間とする。

$f\colon W\to \prod_{\lambda\in \Lambda} X_\lambda$ とするとき，次の2つは同値

$f$ が連続
任意の $\lambda\in \Lambda$ に対し， $p_\lambda\circ f\colon W\to X_\lambda$ が連続

これは，直積位相に限らず，任意の始位相で成り立ちます。証明は，以下の記事の「始位相の普遍性」の部分を見てください。

8. 直積位相は各点収束位相

定理8（直積位相は各点収束位相）

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とし， $S$ を集合とする。このとき，直積空間

\begin{aligned}X^S = \prod_{s\in S} X= \{ f\colon S \to X\} \end{aligned}

は写像 $f\colon S\to X$ の集合である。 $(f_n) \subset X^S$ を写像の列(またはネット(有向点族))とするとき，以下は同値である。

$(f_n)$ が $f$ に収束する
各 $s\in S$ に対し， $(f_n(s))\subset X$ が $f(s)$ に収束する

1.の収束は直積位相 $X^S$ における収束で，2.の収束は $X$ の位相における収束です。

より一般に， $\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ において，ネット $(x_\alpha)_{\alpha}$ が $x$ に収束する必要十分条件は，任意の $\lambda \in \Lambda$ に対し，ネット $(p_\lambda(x_\alpha))_{\alpha}\subset X_\lambda$ が $p_\lambda(x)$ に収束することです。

この定理を知っていれば本定理は当たり前ですが，ネットを使わず，より具体的な今回の場合について，個別に証明することにしましょう。

証明

1. $\implies$ 2.について

$s\in S$ を一つ取り， $f(s)\in X$ における開近傍 $f(s)\in N$ を取る。

N\times \prod_{s_0\in S\setminus\{s\} } X = \{ f\colon S\to X\mid f(s)\in N\}

は， $X^S$ における $f$ の開近傍なので，1.より，ある $n_0\ge 1$ が存在して，

n\ge n_0\implies f_n\in N\times \prod_{s_0\in S\setminus\{s\} } X

とできる。 $n\ge n_0\implies f_n(s)\in N$ となるから，2.が示せた。

2. $\implies$ 1.について

$f\in N$ を $X^S$ における $f$ の開近傍とする。直積位相の定義より，ある正の整数 $j \ge 1$ と $s_1, \ldots, s_j\in S$ と $O_1,\ldots, O_j\in\mathcal{O}$ が存在して，

\small \begin{aligned} f&\in O_1\times \cdots\times O_j\times \prod_{s\in S\setminus\{s_1,\ldots, s_j\}} X \\ &= \{ f\colon S\to X\mid f(s_1)\in O_1,\ldots, f(s_j)\in O_j\} \\ &\subset N\end{aligned}

とできる。 $f(s_1)\in O_1$ かつ2.より，ある $n_1\ge 1$ が存在して，

n\ge n_1\implies f_n(s_1)\in O_1

とできる。同様に $n_2,\ldots, n_j$ を取ることができて， $n'=\max\{ n_1,\ldots, n_j\}$ とおくと，

n\ge n'\implies f_n(s_1)\in O_1,\ldots, f_n(s_j)\in O_j

とできる。これはすなわち

\small n\ge n'\implies f_n\in O_1\times \cdots\times O_j\times \prod_{s\in S\setminus\{s_1,\ldots, s_j\}} X

を意味するので， $n\ge n'\implies f_n \in N$ である。よって，1.が示せた。

証明終

証明では点列にしましたが，ネットにしても同じです。

箱型積位相

集合の無限個の直積空間の開基は，有限個を除いて全体集合の直積でした。そうではなく，開集合の直積を開基とする位相が，箱型積位相です。

定義2（箱型積位相）

$\{(X_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ を空でない位相空間の族とする。このとき，

\left\{ \prod_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\middle|U_\lambda\in\mathcal{O}_\lambda \right\}

を開基とする $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ における位相を箱型積位相 (box topology) という。しばしば $\square_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$ とかかれる。

有限個の直積の場合，直積位相と箱型積位相は一致します。しかし，無限個の直積の場合は，これらは一致せず，箱型積位相の方が大きい（細かい・強い）位相になっています。

直積位相の定義

直積位相の例

直積位相の性質

1. 射影は開写像

2. 直積位相と内部(開核)・閉包

3. 直積位相と分離公理

4. 直積位相とコンパクト性

5. 直積位相と連結性

6. 直積位相と可算公理

7. 直積位相と普遍性

8. 直積位相は各点収束位相

箱型積位相

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