【複素積分】複素線積分とは～定義と例を詳しく～

複素関数の，複素平面上における線積分・弧長積分を定義し，その初等的な計算例を紹介します。さらに最後に，複素関数における微分積分学の基本定理ともいえる定理を証明します。

複素線積分の定義
複素線積分の具体的な計算例
複素線積分の基本的な性質
積分にまつわる複素数の強力な定理
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複素線積分の定義

一般に， $g\colon [a,b]\to \mathbb{C}$ に対して， $\int_a^b g(t)\, dt$ とは， $g(t)=u(t)+iv(t)$ となる $u,v\colon [a,b]\to \R$ （すなわち $u=\operatorname{Re}g, \, v=\operatorname{Im} g$ ）とかいたときに，

\color{red} \int_a^b g(t)\, dt = \int_a^b u(t)\, dt+i\int_a^b v(t)\, dt

であると定義します。これは $g\colon \R\to\mathbb{C}$ の話（定義域は $\R$ の部分集合でもよい）ですが，これを用いて， $f\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ （定義域は $\mathbb{C}$ の部分集合でもよい）の線積分を定義しましょう。

定義1（複素線積分）

$C^1$ 級関数 $z\colon [a,b] \to \mathbb{C}$ によって向き付けられた曲線を $\gamma = z([a,b])\subset \mathbb{C}$ とする。また， $f\colon \gamma\to \mathbb{C}$ を連続とする。このとき，

\color{red}\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) z'(t) \, dt

を，曲線 $\gamma$ に沿った複素線積分 (contour integration) という。また， $z\colon [a,b]\to \mathbb{C}$ が区分的 $C^1$ 級関数のときは， $C^1$ 級となる区間

a<t_0<t_1<t_2<\cdots< t_n=b

に分割して，

\color{red}\int_\gamma f(z) \, dz = \sum_{k=1}^n \int_{t_{k-1}}^{t_k} f\bigl(z(t)\bigr) z'(t) \, dt

と考える。

この定義は，形式的に $dz = z'(t) \, dt$ と置換積分を行っていると解釈できますね。

同時に，弧長積分や，実軸・虚軸に関する積分も定義しておきましょう。

定義2（弧長積分，実軸・虚軸に関する積分）

定義1と同じ仮定の下で， $z(t)=x(t)+iy(t)\quad (x, y\colon [a,b]\to \R)$ とする。このとき，

曲線の微小な長さ $|dz| = |z'(t)| \, dt = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt$ に関する積分
$\color{red}\int_\gamma f(z) \, |dz| = \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) |z'(t)| \, dt$
を，曲線 $\gamma$ に沿った弧長積分という。
$x$ に関する積分
$\color{red}\int_\gamma f(z) \, dx = \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) x'(t) \, dt$
を，曲線 $\gamma$ に沿った実軸方向の線積分という。
$y$ に関する積分
$\color{red}\int_\gamma f(z) \, dy = \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) y'(t) \, dt$
を，曲線 $\gamma$ に沿った虚軸方向の線積分という。

$\R^2$ における実数値関数の線積分は，この弧長積分が一般的ですね(→線積分の定義と具体的な計算手法を解説)。特に， $\gamma$ の長さ (length) は

\ell(\gamma)=\int_\gamma |dz|=\int_a^b |z'(t)| \, dt

です。なお， $\gamma$ が閉曲線（すなわち始点と終点が一致する曲線）のときは，周回積分といい， $\displaystyle \int_\gamma$ のことを $\color{red}\displaystyle \oint_\gamma$ とかいて，周回していることを強調することがあります。本サイトでも，閉曲線のときはこの記号を用いることにします。

複素線積分の具体的な計算例

具体的に計算例を確認しましょう。微分について， $G(t)=U(t)+iV(t)$ となる $U,V\colon [a,b]\to\R$ を取ったときに， $G'(t)=U'(t)+iV'(t)$ ですから，

\begin{aligned} \int_a^b G'(t)\, dt &= \int_a^b U'(t)\, dt+i\int_a^b V'(t)\, dt \\ &= U(t)+iV(t) \\ &= G(t) \end{aligned}

です。よって，複素数値関数 $g\colon [a,b]\to \mathbb{C}$ の積分は，原始関数が求まるなら実数と同じノリで大丈夫です。

例題1.

$C$ を，単位円を反時計回りに向き付けたものとする。このとき，

\oint_C \frac{1}{z}\, dz,\quad \oint_C \frac{1}{z}\, |dz|,\quad \oint_C \frac{1}{z}\, dx,\quad \oint_C \frac{1}{z}\, dy

をそれぞれ計算せよ。

曲線 $C$ を， $z(t)=e^{it} =\cos t+i\sin t \, (0\le t\le 2\pi)$ とパラメータ表示しましょう。 $z'(t)=ie^{it}$ ですから，

\begin{aligned}\oint_C \frac{1}{z} \, dz &= \int_0^{2\pi} e^{-it} (i e^{it}) \, dt = \int_0^{2\pi} i \, dt = 2\pi i\end{aligned}

です。弧長積分については， $|dz| = |ie^{it}| \, dt = 1 \, dt$ を用いると，

\begin{aligned}\oint_C \frac{1}{z} \, |dz| &= \int_0^{2\pi} e^{-it} \cdot 1 \, dt \\ &= \left[\frac{e^{-it}}{-i} \right]_0^{2\pi} = 0 \end{aligned}

であり，実軸方向の積分については， $dx = -\sin t \, dt = -\frac{e^{it} - e^{-it}}{2i} \, dt$ を用いると，

\begin{aligned}\oint_C \frac{1}{z} \, dx &= \int_0^{2\pi} e^{-it} \left( -\frac{e^{it} - e^{-it}}{2i} \right) \, dt \\ &= \frac{i}{2} \int_0^{2\pi} (1 - e^{-2it}) \, dt \\ &= \frac{i}{2} \left[ t - \frac{e^{-2it}}{-2i} \right]_0^{2\pi} = \pi i \end{aligned}

であり，さらに虚軸方向の積分については， $dy = \cos t \, dt = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} \, dt$ を用いて，

\begin{aligned} \int_\gamma \frac{1}{z} \, dy &= \int_0^{2\pi} e^{-it} \left( \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} \right) \, dt \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + e^{-2it}) \, dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ t + \frac{e^{-2it}}{-2i} \right]_0^{2\pi} = \pi \end{aligned}

と計算できましたね。なお，ここで，我々は勝手に単位円を $z(t)=e^{it}$ とパラメータ表示しましたが，パラメータの置き方を変えると積分の値が変わることはないのでしょうか。実は，向きが同じであれば，線積分はパラメータの取り方によらずに定まることが知られています。実際，

$z_1\colon [a_1,b_1]\to \mathbb{C},\, z_2\colon [a_2,b_2]\to \mathbb{C}$ をどちらも曲線 $\gamma$ のパラメータ表示とし，ある全単射な $C^1$ 級関数 $\varphi\colon [a_1,b_1]\to [a_2,b_2]$ が存在して，

z_1=z_2\circ \varphi,\quad \varphi'>0

とできるとしましょう。これは向き付けが同等であることを保証しています。このとき，合成関数の微分 $\bigl( z_2(\varphi(t))\bigr)' = z_2'(\varphi(t))\varphi'(t)$ により，

\begin{aligned}& \int_\gamma f(z_1) \, dz_1 \\ &= \int_{a_1}^{b_1} f\bigl(z_1(t)\bigr) z_1'(t)\, dt \\ &= \int_{a_1}^{b_1} f\bigl(z_2(\varphi(t))\bigr) z_2'(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt \\ &= \int_{a_2}^{b_2} f\bigl(z_2(u)\bigr) z_2'(u)\, du \\ &= \int_\gamma f(z_2) \, dz_2\end{aligned}

ですね。ただし，3つ目の等式は $u=\varphi(t)$ による変数変換をしました。弧長積分なども同様です。

もう一つ例を挙げましょう。

例題2.

複素平面上の点 $\mathrm{O}(0),\,\mathrm{A}(1),\, \mathrm{B}(1+i)$ とし，曲線 $C_1,C_2$ を

$C_1$ ：OからBまでの線分
$C_2$ ：「OからAまでの線分 $L_1$ + AからBまでの線分 $L_2$ 」の折れ線

とする。このとき， $\int_{C_1} z^2\, dz,\,\, \int_{C_2}z^2\, dz$ を求めよ。

まずは $\int_{C_1} z^2\, dz$ を求めましょう。 $C_1$ は $z(t)=(1+i)t \, (0\le t\le 1)$ とパラメータ表示できるので，

\begin{aligned} \int_{C_1} z^2 \, dz &= \int_0^1 \{(1+i)t\}^2 \cdot (1+i) \, dt \\ &= (1+i)^3 \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{-2+2i}{3} \end{aligned}

を得ますね。続いて $\int_{C_2} z^2\, dz$ について， $L_1$ は $z(t)=t\,(0\le t\le 1)$ とパラメータ表示でき， $L_2$ は $z(t)=1+it\, (0\le t\le 1)$ とパラメータ表示できるので，

\begin{aligned} \int_{C_2} z^2 \, dz &= \int_{L_1} z^2 \, dz + \int_{L_2} z^2 \, dz \\ &= \int_0^1 t^2 \, dt + \int_0^1 (1+it)^2 \cdot i \, dt \\ &= \frac{1}{3} + i \left[ t + it^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} + i \left( \frac{2}{3} + i \right) = \frac{-2+2i}{3} \end{aligned}

$\int_{C_1} z^2\, dz=\int_{C_2} z^2\, dz$ となることが分かりますね。実は，始点が $\mathrm{O}$ ，終点が $\mathrm{B}$ となる任意の区分的 $C^1$ 級曲線 $\gamma$ に対し， $\int_\gamma z^2\, dz$ の値は同じになります。次の定理の3.を見てください。

複素線積分の基本的な性質

定理（複素線積分の基本的な性質）

$\gamma\subset \mathbb{C}$ は定義1の通り，区分的 $C^1$ 級曲線とする。さらに， $f_1, f_2,f\colon \gamma\to \mathbb{C}$ は連続とする。このとき，

線形性
$\begin{aligned}&\int_\gamma \bigl\{\alpha f_1(z)+\beta f_2(z)\bigr\}\, dz \\&= \alpha\int_\gamma f_1(z)\, dz+\beta\int_\gamma f_2(z)\, dz\end{aligned}$
三角不等式
$\begin{aligned}\left| \int_\gamma f(z)\, dz\right|&\le \int_\gamma |f(z)|\, |dz|\\&\le \sup_{z\in\gamma} |f(z)| \cdot \ell(\gamma)\end{aligned}$
微分積分学の基本定理
$\gamma$ を含むある開集合上で $F'(z)=f(z)$ (複素微分)となる複素関数 $F$ (原始関数 (primitive) という)が存在するとき，
$\int_\gamma f(z)\, dz = F(w_2)-F(w_1)$ ただし， $w_1=z(a),\, w_2=z(b)$ はそれぞれ曲線 $\gamma$ の始点・終点である。
特に， $\gamma$ が閉曲線，すなわち $w_1=w_2$ のときは， $\oint_\gamma f(z)\, dz=0$ である。

3.の公式を見て，具体例の計算の直前に確認したじゃんと思うかもしれません。しかし，そうではありません。具体例は単に $G\colon \textcolor{red}{\R}\to\mathbb{C}$ における(実)微分を $G'=g$ としたときに， $\int_a^b g(t)\, dt=G(b)-G(a)$ でしたが，3.では $F\colon \textcolor{red}{\mathbb{C}}\to \mathbb{C}$ （定義域は $\mathbb{C}$ の部分領域でもよい）の(複素)微分を $F'=f$ としたときに， $\int_\gamma f(z)\, dz = F(w_2)-F(w_1)$ と言っています。

3.は， $\gamma$ の経路によらず，積分が始点・終点のみで定まっていることを意味しています。実際，すでに挙げた例題2.がそうですね。 1,2.は実数のときと同じでほぼ明らかなので，3.のみ示しましょう。

3.の証明

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dt}F(z(t)) = F'(z(t)) z'(t)$ より，

\begin{aligned} \int_\gamma f(z) \, dz &= \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) z'(t) \, dt \\ &= \int_a^b F'\bigl(z(t)\bigr) z'(t) \, dt \\ &= \int_a^b \frac{d}{dt} F\bigl(z(t)\bigr) \, dt \end{aligned}

ここで，実変数関数の微分積分学の基本定理を実部と虚部それぞれに適用することで，

\begin{aligned} \int_a^b \frac{d}{dt} F\bigl(z(t)\bigr) \, dt &= F\bigl(z(b)\bigr) - F\bigl(z(a)\bigr) \\ &= F(w_2)-F(w_1) \end{aligned}

を得る。

証明終

ここで，あれと思った人がいるかもしれません。例題1.では $\oint_C 1/z \, dz=2\pi i\ne 0$ だったではないかと。実は， $1/z$ は，単位円 $C$ を含む開集合上で原始関数をもたないことが知られています。 $\log z$ が原始関数と思うかもしれませんが，これは単位円 $C$ を含む開集合上でうまく定義できません。