複素関数における周回積分の平均値の定理 (Mean-value property) について，その主張と証明をします。
周回積分の平均値の定理
以下では， a\in \mathbb{C},\, R>0 に対し，中心 a，半径 R の開円板を
D_R(a)=\{ z\in\mathbb{C}\mid |z-a|<R\}
と表記します。
定理（平均値の定理; Mean-value property）
a\in\mathbb{C},\, R>0 とする。さらに f\colon D_R(a)\to \mathbb{C} を正則とする。このとき， 0<r<R に対し，
\large \color{red} f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a+re^{i\theta}) \, d\theta
さらに， u=\operatorname{Re} f とおくと，両辺実部を取ることで，
\large \color{red} u(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(a+re^{i\theta}) \, d\theta
も成り立つ。
なお，関数 u\colon D_R(a)\to \R に対し， u=\operatorname{Re} f となる正則関数 f\colon D_R(a)\to \mathbb{C} が存在する必要十分条件は， u が調和 (harmonic) であることです。調和とは， u を u(x,y)=u(x+iy),\, x,y\in\mathbb{R} のように，実2変数関数と見たときに， u_{xx}+u_{yy}=0 となることをいいます。
よって，上の後半の仮定は，「 u\colon D_R(a)\to \R が調和であるとき」と言ってもよいです。
前半の証明
C_r(a) を，中心 a，半径 r の円周に反時計回りの向きを入れたものとすると，コーシーの積分公式より，
f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_r(a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta - a} \, d\zetaが成り立つ。 \zeta = a+re^{i\theta} \, (0\le \theta\le 2\pi) と変数変換すると， d\zeta = rie^{i\theta}\, d\theta なので，
f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f(a+re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \, rie^{i\theta}\, d\thetaとなって，約分すると欲しい式を得る。
証明終
コーシーの積分公式を単に変数変換しただけでした。
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