複素解析において零点 (zero)とは，関数の値が0になる点のことです。これは，極 (pole)と並んで最も基本的な重要概念です。
本記事では，複素関数における零点およびその位数の定義，そしてテイラー展開を用いた微分による位数の判定法と同値性について，分かりやすく解説します。
複素関数の零点
まずは，零点の定義と，零点の位数について定義し，具体例や性質を掘り下げていきましょう。
零点の定義と微分との同値性
定義1（零点）
D\subset \mathbb{C} を開集合とし， f\colon D\to \mathbb{C} を正則関数とする。 a\in D が \large \color{red} f(a)=0 を満たすとき， a を f の零点 (zero) という。
さらに，ある整数 m\ge 1 と正則関数 g\colon D\to \mathbb{C} が存在して，
\large\color{red} f(z)=(z-a)^m g(z), \quad g(a)\neq 0と表せるとき， a を f の m 位の零点 (zero of order m) という（ m を位数 (order) という）。
位数を因数分解の形で定義しましたが， m 階微分において初めて 0 でなくなることが， m 位の零点であることの同値な条件であり，それにより位数を定義することも多いです。
定理1（ m 位の零点の定義の同値性）
D\subset \mathbb{C} を開集合， f\colon D\to \mathbb{C} を正則関数とする。また， a\in D とする。このとき，以下は同値である。
- f(z)=(z-a)^m g(z),\, g(a)\neq 0 となる正則関数 g\colon D\to\mathbb{C} が存在する
- f(a)=f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0 かつ f^{(m)}(a)\neq 0 が成立する
1.が本記事での m 位の零点の定義です。軽く証明しておきましょう。
1.\implies 2.は， (z-a)^m g(z) を積の微分法則(ライプニッツ法則)に基づいて微分していけば証明できます。2.\implies 1.の証明は，正則関数は各点の近傍でテイラー展開可能であることを考えれば明らかです。実際， a のある近傍 U\subset D 上で， f は
f(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (z-a)^n ,\quad z\in U
とテイラー展開できますから，2.を仮定すれば U 上で1.が従います。 D\setminus U 上では，g= f/(z-a)^m は明らかに正則ですから， D 上で1.のように書けるわけです。
零点の孤立性(非集積性)
零点は定義域内では常に孤立しています。
定理2（零点の孤立性(非集積性)）
D\subset \mathbb{C} を領域（連結開集合）， f\colon D\to \mathbb{C} を正則関数とする。 f が定数関数でないとき， f の各零点は孤立している。
すなわち， a\in D が f の零点であるとき，ある a の開近傍 U\subset D が存在して
f(z)\ne 0,\quad z\in U\setminus \{a\}
となる。
定理2より，その対偶「『ある零点が零点たちの集合の集積点である，すなわち零点の集合 \{a_n\} が存在して， a_n \to a かつ a も f の零点である』\implies f(z)=0\, (\forall z\in D)」が成り立ちます。これは一致の定理 (identity theorem) そのものです。以下で証明しています。これ自体が，定理2の証明になっています。
注意ですが，定義域ではない点に零点が集積することはあります。たとえば， \sin (1/z) の各零点は孤立点ですが， 0 に集積します。 0 はこの正則関数の定義域に入っていません。
零点の具体例
簡単な具体例を紹介しておきましょう。
- (z-1)^2(z-3i) は 1 が2位の零点， 3i が1位の零点である
- \sin z は z=n\pi \, (n\in\mathbb{Z}) に1位の零点をもつ
- e^z は零点をもたない
複素関数の極との関係
零点と極との関係を述べるために，まずは極を定義しましょう。
複素関数の極
定義2（極）
D\subset \mathbb{C} を開集合とし， a\in D とする。また， f\colon D\setminus \{a\} \to \mathbb{C} を正則関数とする。
ある整数 m\ge 1 と正則関数 h\colon D\to \mathbb{C} が存在して，
\large \color{red} f(z)=\dfrac{h(z)}{(z-a)^m},\quad h(a)\ne 0
と表せるとき， a は f の m 位の極 (pole of order m) という。
極は孤立特異点の分類の一つです。
零点と極の関係
さて，零点と極の関係を述べましょう。本記事のメインの定理です。
定理3（極と零点の関係）
D\subset \mathbb{C} を開集合とし，正則関数 f\colon D\to \mathbb{C} は D 内に a のみで零点をもつとする。このとき，整数 m\ge 1 に対し，次の2条件は同値である。
- a は f の m 位の零点である
- a は 1/f\colon D\setminus \{a\}\to \mathbb{C} の m 位の極である
零点と，その逆数が極であることが対応しているんですね。
証明
1. \implies 2. について
a は f の m 位の零点であると仮定する。 このとき，零点の定義より， g(a)\neq 0 を満たす正則関数 g\colon D\to\mathbb{C} が存在して，
f(z)=(z-a)^m g(z)と表せる。 仮定より， f は a 以外で零点をもたないので， g は D 上で零点をもたない。そこで， h=1/g とおくと， h\colon D\to \mathbb{C} は正則であり，
h(a)=\frac{1}{g(a)}\neq 0を満たす。このとき， D\setminus \{a\} 上で
\frac{1}{f(z)} = \frac{1}{(z-a)^m g(z)} = \frac{h(z)}{(z-a)^m}と表すことができるため， a は 1/f の m 位の極である。
2. \implies 1. について
a は 1/f の m 位の極であると仮定する。 極の定義より，正則関数 h\colon D\to\mathbb{C} が存在して， D\setminus \{a\} 上で h(a)\neq 0 かつ
\frac{1}{f(z)}=\frac{h(z)}{(z-a)^m}と表せる。 D\setminus \{a\} 上では h(z)=(z-a)^m/f(z)\ne 0 なので，両辺の逆数をとると，
f(z)=\frac{(z-a)^m}{h(z)}となる。 既に述べた通り h は零点をもたないので， g=1/h とおくと， g\colon D\to\mathbb{C} は正則である。 さらに，
g(a)=\frac{1}{h(a)}\neq 0であり，
f(z)=(z-a)^m g(z)と表せる。したがって， a は f の m 位の零点である。
証明終
多項式関数の零点
定数でない多項式関数には，必ず零点が存在することが知られています。これが，代数学の基本定理 (fundamental theorem of algebra) です。
定理4（代数学の基本定理）
定数でない多項式関数は必ず零点が存在する。特に， n 次関数のときは，位数を込めて n 個の零点が存在する。
「位数を込めて」とは，たとえば a が2位の零点なら，2個と数えるということです。
この証明は，いずれ別の記事で紹介しましょう。
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