数学において，完備 (complete) であるとは，コーシー列が常に(自身の中で)収束することを指します。これについて，「実数における完備性」と「距離空間における完備性」を分けて解説しましょう。
実数における完備性
完備性の定義には，コーシー列の概念が必要です。数における「コーシー列」の概念について，復習しておきましょう。
実数または複素数またはその部分集合の列 \{a_n\} がコーシー列 (Cauchy sequence) であるとは，
任意の \varepsilon >0 に対し，ある N\ge 1 が存在して，
n,m \ge N \implies |a_n -a_m|<\varepsilon
となることをいう。
要するに， n,m を大きくしていけば，差 |a_n-a_m| はどんどん小さくなるということです。
数における「コーシー列」の基本的なことについては，以下でも解説しています。
さて，これを用いて「完備性」が定義されます。定義を述べましょう。
定義（数の集合における完備性）
A\subset \mathbb{R} \;(\mathbb{C}) とする。集合 A が完備(complete)であるとは，A 上の任意のコーシー列 \{a_n\} \subset A が A 上の点に収束することである。
「完備」とは，「コーシー列 \iff 収束列」であることといえます。そして，次の定理が重要です。
定理（実数や複素数の集合は完備である）
\mathbb{R} や \mathbb{C} は完備である。
すなわち，コーシー列 \{a_n\} \subset \mathbb{R}\; (\mathbb{C}) は \mathbb{R} \; (\mathbb{C}) 上に収束値を持つ。
これの証明は，【微分積分学】コーシー列とは～定義と収束性の証明～で行っていますので，ここでは省略します。大事なのは，次の完備でない例を理解することです。
例1(有理数は完備でない).
\mathbb{Q} は完備でない。実際， a_n を円周率 \pi を小数表示したときの第 n 桁までの数とする。すなわち，
\begin{aligned}a_1 &= 3.1, \\ a_2&= 3.14, \\ a_3 &= 3.141, \\ a_4 &= 3.1415, \\ &\vdots \end{aligned}
と定める。このとき， \{a_n\}\subset \mathbb{Q} であり，これはコーシー列であるが，収束値について a_n \xrightarrow{n\to\infty} \pi \notin \mathbb{Q} となるので， \mathbb{Q} は完備でない。
有理数と実数の決定的な違いは，コーシー列が，ちゃんと自身の集合の中で収束するか（完備かどうか）どうかです。
有理数も実数も，どちらも「無限に敷き詰められている」状態ですが(「稠密（ちゅうみつ）」といいます→有理数・無理数の稠密性の定義とその証明)，その2者には大きな違いがあるわけです。
距離空間における完備性
ここからは，より一般に，距離空間における完備性を見ていきましょう。距離空間とは，距離が考えられる空間のことで，以下で解説しています。
たとえば，実数ないしは複素数の集合は， d(x,y)=|x-y| によって距離空間と思えます。この点で，距離空間は，実数・複素数のような数の集合をさらに一般化したものです。
「距離空間の完備性」を定義する前に，距離空間における「コーシー列」を定義しましょう。数のときと矛盾の無いよう定義します。
定義（距離空間におけるコーシー列）
(X, d) を距離空間とし， \{ a_n\}\subset X とする。これがコーシー列 (Cauchy sequence) であるとは，
任意の \varepsilon >0 に対し，ある N \ge 1 が存在して，
n,m \ge N \implies d(a_n ,a_m)<\varepsilon
となることをいう。
数のときのコーシー列の定義とほぼ同じですね。 |a_n-a_m| が d(a_n,a_m) に変わっただけです。
さて，これをもとに，「距離空間の完備性」を定義しましょう。
定義（距離空間の完備性）
(X,d) は距離空間とする。 X が完備 (complete) であるとは， X における任意のコーシー列が収束列になる(収束先が X 上に存在する)ことである。
完備である距離空間を完備距離空間 (complete metric space) という。
距離空間の部分集合 A についても，同様に完備かどうかを考えることが可能です。
今回は「関数空間」を例に，完備な距離空間と，そうでない例を挙げましょう。
例2(完備な関数空間・そうでない関数空間の例).
C_0(\mathbb{R}) = \{ f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f\text{ is continuous and } f(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty} 0\}
を，無限遠で消える実数値連続関数全体の集合とし，
を， f(x) \ne 0 となる x が有界 (bounded) となる実数値連続関数全体の集合とする(専門的にはコンパクト台を持つ連続関数という)。特に C_c(\mathbb{R})\subset C_0(\mathbb{R}) である。
C_0(\mathbb{R}), C_c(\mathbb{R}) はどちらも
d(f,g) =\sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)-g(x)|
によって距離空間になるが， C_0(\mathbb{R}) は完備で， C_c(\mathbb{R}) は完備でない。
C_0(\mathbb{R}) が完備であることの証明は少々難しいので，ここでは省略します(バナッハ空間とは～定義と具体例5つ～の中で証明しています)。
C_c(\mathbb{R}) が完備でないことの証明は簡単なので，ここで紹介しましょう。たとえば， f(x)=e^{-x^2} とし， f_n(x) は e^{-x^2}1_{[-n,n]}(x) を「いい感じに」連続関数に補正したものとします(下図参照)( 1 は定義関数(特性関数))。
このとき， \{f_n\} \subset C_c(\mathbb{R}) であり，これはコーシー列になっています。実際， d(f_n, f_m) \le e^{-\min\{n, m\}^2} ですから，コーシー列です。さらに，
ですから， \{f_n\} は f に収束します。しかし， f\in C_0(\mathbb{R})\setminus C_c(\mathbb{R}) ですから，これは， \{f_n\} が C_c(\mathbb{R}) 上の関数に収束しないことを意味しており， C_c(\mathbb{R}) は完備ではありません。
なお， C_c(\mathbb{R}) を完備になるような最小拡張は， C_0(\mathbb{R}) であることが知られています。このように，完備な拡張を考えることを完備化 (completion) といいます。任意の距離空間は完備化可能です。
