階段行列とは～定義と例と作り方～

行列における「階段行列」について，定義と例を確認し，さらにその作り方を，分かりやすく図解しながら述べましょう。

階段行列の定義と例

まずは，階段行列の定義と例を，順番に述べましょう。

定義（階段行列）

$m \times n$ 行列の第 $i$ 行について，第 $1$ 列から考えて初めて $0$ でない成分が出てくる列を第 $d_i$ 列とする。ただし，第 $i$ 行がすべて $0$ のときは $d_i = n +1$ と約束する。

\small \color{red}\boldsymbol{d_1 < d_2 < \dots < d_m }

または

\small \color{red}\boldsymbol{d_1 < d_2 < \dots < d_i < d_{i+1} = \cdots = d_m=n+1}

であるとき，これを階段行列 (step matrix) という。図で描くと以下のような行列のことである。

ただし， $*$ は $0$ でない成分を指す。

$0$ でない成分が階段状に並んでいるから，「階段行列」といわれるんですね。

なお， $*$ より右側の成分に $0$ が入っていても構いません。たとえば，単位行列は階段行列の一種です。

階段行列の例をいくつか列挙しておきましょう。

階段行列の例

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2& 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
単位行列
対角行列
上三角行列

階段行列には，以下の性質があります。

定理（階段行列の段数と行列の階数の一致）

階段行列における階段の段数は，行列の階数 $\operatorname{rank}$ と一致する。

この定理より，階段行列に変形することは，行列の階数を求めるうえでも有用であることが分かります。基本的に，行列の階数を求めたければ，階段行列に変形してみればよいわけです。

階段行列を作るにあたって，以下の定理が知られています。

定理（階段行列は行基本変形によって作れる）

任意の行列は，行基本変形を用いて階段行列に変形できる。

「行基本変形」とは以下の3つの変形のことです。

行基本変形

より詳しくは，行列の基本変形に関する以下の記事を確認してください。

これを用いて，階段行列を作ることを考えてみましょう。

作り方はいたって機械的です。

階段行列の作り方の手順

まず第 $1$ 列に着目する。第 $1$ 列が $0$ でない行があれば，その行を行の交換によって第 $1$ 行に移動させる。そして，その行以外の第 $1$ 列が $0$ になるように変形する。
第 $1$ 行，第 $1$ 列は無視し，それ以外の $(m-1) \times (n-1)$ 行列に対し，1.と同じ操作を行う。
2.と同様の操作を $(m-2) \times (n-2)$ 行列， $(m-3) \times (n-3)$ 行列…… に対して順番に続ける。