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二項分布の定義と性質まとめ

2021.06.12
確率論
用語・記号の定義まとめ大学教養
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二項分布は，n n 回コイン投げを行ったときに，k k 回表が出る確率を一般化したもので，P(X=k)=nCkpk(1−p)n−k P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k} となります。そんな二項分布について，その定義と性質を，図解を交えて分かりやすくまとめます。

二項分布の定義

まずは，二項分布の定義と，具体例を確認していきましょう。

二項分布の定義と具体例

定義（二項分布）

0<p<1,  n 0<p<1 ,\,\, n は正の整数とする。k=0,1,2,…,n k = 0,1,2,\dots, n に対して，

P(X=k)=nCk pk(1−p)n−k \color{red} P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k\, p^{k}(1-p)^{n-k}


となるとき，確率変数 X X はパラメータ (n,p) (n,p) に関する二項分布 (binomial distribution) に従うといい，X∼B(n,p) \color{red} X\sim B(n,p) とかく。

二項分布は，確率 p p で表が出るコインを n n 回投げたときの，表が出る回数をモデル化したものと言えます。

コインの絵

いくつか具体的な値を入れて，そのときの確率がどうなるか考えてみましょう。

まず，n=10\color{red} n=10 と固定し，p=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9\color{red} p=0.1,0.3, 0.5, 0.7, 0.9 と変えたとき，横軸に k  (0≤k≤10) k \,\,(0\le k \le 10)，縦軸に P(X=k) P(X=k) をプロットしたグラフは，以下のようになります。

n=10, p=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9 としたときの二項分布のグラフ

次に，p p を固定し，n n を変化させてみましょう。p=0.4 \color{red} p=0.4 とし，n=10,20,30,40 \color{red} n=10,20,30,40 と変化させた場合の確率は，以下のようになります。

p=0.4, n=10,20,30,40 としたときの二項分布のグラフ

ベルヌーイ分布との関係

B(n,p) B(n,p) において，n=1 n=1 のとき，これは「コインを1回投げただけ」に相当し， P(X=1)=p, P(X=0)=1−p \color{red} P(X=1)=p,\, P(X=0) = 1-p となります。これはベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) といいます。これについては，別途以下の記事を参照してください。

ベルヌーイ分布とは～定義と性質の導出～
ベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) は，ある確率pで1を，残りの確率1-pで0となるような確率分布のことです。これについて，その定義と性質（平均・分散・標準偏差・積率母関数・特性関数など）を述べましょう。
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また逆に，二項分布は「コインを1回投げる」ということを n n 回繰り返すと考えることもできます。よって，X∼B(n,p) X\sim B(n,p) としたとき，P(Xk=1)=p, P(Xk=0)=1−p P(X_k=1) = p,\, P(X_k=0)=1-p となる互いに独立な n n 個のベルヌーイ分布 X1,X2,…,Xn X_1,X_2,\dots, X_n を用いて，

X=dX1+X2+⋯+Xn\color{red} X \stackrel{\mathrm{d}}{=} X_1 + X_2 + \dots + X_n


とかくことができます。 ただし，=d \stackrel{\mathrm{d}}{=} は「分布の意味で等しい」ことを表します。

ベルヌーイ分布の独立な和が二項分布と言えるわけですね。

二項分布の性質

二項分布の主な性質を列挙します。

二項分布 B(n,p) B(n,p)
確率 P(X=k) (k=0,1,…,n) P(X=k)\, (k=0,1,\dots,n) nCk pk(1−p)n−k{}_n\mathrm{C}_k\, p^k (1-p)^{n-k}
分布の型離散型
累積分布関数 F(x)=P(X≤x) F(x) = P(X\le x){0x<0,∑k=0⌊x⌋nCk pk(1−p)n−k0≤x≤n,1n<x. \displaystyle \begin{cases} 0 & x<0 ,\\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} {}_n\mathrm{C}_k \, p^k (1-p)^{n-k}& 0\le x \le n, \\ 1& n<x.\end{cases}
期待値 μ=E[X] \mu=E[X]np np
分散 σ2=V(X) \sigma^2=V(X) np(1−p) np(1-p)
標準偏差 σ=V(X) \sigma=\sqrt{V(X)} np(1−p) \sqrt{np(1-p) }
歪度 E[(X−μ)3]σ3 \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} 1−2pnp(1−p) \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
尖度 E[(X−μ)4]σ4−3 \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -31−6p(1−p)np(1−p) \frac{1-6p(1-p) }{np(1-p)}
積率母関数 E[etX] E[e^{tX}] (1−p+pet)n (1-p+pe^t)^n
特性関数 E[eitX] E[e^{itX}] (1−p+peit)n (1-p+pe^{it})^n
正規分布による近似(中心極限定理)p p を一定にして n→∞ n\to\infty とする
ポアソン分布による近似(ポアソンの少数の法則)λ=lim⁡n→∞npn \lambda =\lim_{n\to\infty} np_n として n→∞ n\to\infty とする

累積分布関数以降について，順番に考えていきましょう。

二項分布の累積分布関数(分布関数)

定理（二項分布の累積分布関数）

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) であるとき，X X の累積分布関数(分布関数)は

F(x)={0x<0,∑k=0⌊x⌋nCk pk(1−p)n−k0≤x≤n,1n<x. \small \color{red}F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 ,\\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} {}_n\mathrm{C}_k \, p^k (1-p)^{n-k}& 0\le x \le n, \\ 1& n<x.\end{cases}


となる。ただし，⌊x⌋ \lfloor x\rfloor は床関数(ガウス記号)を表す。

これは，F(x)=P(X≤x)=∑k=0⌊x⌋P(X=k) F(x) = P(X\le x ) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) なので，明らかですね。

確率(質量)関数と，そのときの累積分布関数を左右に描画すると，以下のようになります。※以下は模式的なものであり，実際の累積分布関数は，床関数(ガウス記号)のグラフのような，不連続なものです。

二項分布の期待値・分散・標準偏差

定理（二項分布の期待値・分散・標準偏差）

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) であるとき，X X の期待値・分散・標準偏差はそれぞれ

E[X]=np,V(X)=np(1−p),V(X)=np(1−p) \color{red}\begin{aligned} E[X]&= np, \\ V(X)&= np(1-p), \\ \sqrt{V(X)} &= \sqrt{np(1-p) } \end{aligned}


となる。

これの証明については，以下の記事で行っています。

二項分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明
有名な確率分布の1つである，「二項分布 (binomial distribution)」について，その期待値(平均)E[X}・分散V(X)・標準偏差を述べ，その証明を，「定義から直接証明」「ベルヌーイ分布の和を用いた証明」「特性関数の微分を用いた証明」の3通りで行います。
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二項分布の歪度・尖度

定理（二項分布の歪度・尖度）

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) であるとき，X X の歪度・尖度はそれぞれ

E[(X−μ)3]σ3=1−2pnp(1−p),E[(X−μ)4]σ4−3=1−6p(1−p)np(1−p) \color{red}\begin{aligned} \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}&= \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}},\\ \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3&= \frac{1-6p(1-p) }{np(1-p)} \end{aligned}


となる。ただし，μ=E[X], σ=V(X) \mu=E[X],\, \sigma=\sqrt{V(X)} である。

「歪度（わいど）」とは，分布がどれだけ非対称で歪んで（ゆがんで）いるかを表す指標で，「尖度（せんど）」とは，正規分布と比べて分布がどれだけ尖って（とがって）いるかを表す指標です。

これについては，以下の記事で解説しています。

二項分布の歪度・尖度とその導出証明
二項分布の歪度（わいど, skewness）・尖度（せんど, kurtosis）について，その結果と，導出の証明を行いましょう。導出のために，特性関数を用いて，二項分布の1～4次モーメントも求めます。
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二項分布の積率母関数(モーメント母関数)

定理（二項分布の積率母関数）

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) であるとき，X X の積率母関数は

E[etX]=(1−p+pet)n \color{red}E[e^{tX}] = (1-p+pe^t)^n


である。

これを証明してみましょう。

証明

E[etx]=∑k=0netkP(X=k)=∑k=0netknCk pk(1−p)n−k=∑k=0nnCk(pet)k(1−p)n−k\begin{aligned} E[e^{tx} ] &= \sum_{k=0}^n e^{tk} P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^n e^{tk} {}_n\mathrm{C}_k\, p^k (1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k (pe^{t})^k (1-p)^{n-k} \\ \end{aligned}


であり，二項定理より，

∑k=0nnCk(pet)k(1−p)n−k=(1−p+pet)n \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k (pe^{t})^k (1-p)^{n-k} =(1-p+pe^t)^n


がわかる。

証明終

また，確率変数 X,Y X, Y が独立であるとき， E[et(X+Y)]=E[etX]E[etY] \color{red} E[e^{t(X+Y)}] = E[e^{tX}]E[e^{tY}] であることを用いると，以下のような証明も可能です。

別証

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) のとき，パラメータ p p に従う互いに独立なベルヌーイ分布 Xk (1≤k≤n) X_k \, (1\le k \le n) を用いて，

X=dX1+X2+⋯+Xn X\stackrel{\mathrm{d}}{=} X_1 + X_2 + \dots + X_n


とかける（=d \stackrel{\mathrm{d}}{=} は分布が等しいという意味）。

従って，

E[etX]=E[et(X1+⋯+Xn)]=E[etX1]n \begin{aligned}E[e^{tX}] &= E[e^{t(X_1+\dots+X_n)}] = E[e^{tX_1}]^n \end{aligned}


であり，ベルヌーイ分布の積率母関数は，E[etX1]=1−p+pet E[e^{tX_1}]= 1-p+pe^t である(→ベルヌーイ分布とは～定義と性質の導出～)から，

E[etX]=(1−p+pet)nE[e^{tX}] = (1-p+pe^t)^n


がわかる。

別証終

二項分布の特性関数

定理（二項分布の特性関数）

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) であるとき，X X の特性関数は

E[eitX]=(1−p+peit)n \color{red}E[e^{itX}] = (1-p+pe^{it})^n


である。

これの証明は，積率母関数のときとほぼ同じですが，一応確認してみましょう。

証明

E[eitx]=∑k=0neitkP(X=k)=∑k=0neitknCk pk(1−p)n−k=∑k=0nnCk(peit)k(1−p)n−k\begin{aligned} E[e^{itx} ] &= \sum_{k=0}^n e^{itk} P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^n e^{itk} {}_n\mathrm{C}_k\, p^k (1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k (pe^{it})^k (1-p)^{n-k} \\ \end{aligned}


であり，二項定理より，

∑k=0nnCk(peit)k(1−p)n−k=(1−p+peit)n \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k (pe^{it})^k (1-p)^{n-k} =(1-p+pe^{it})^n


がわかる。

証明終

また，確率変数 X,Y X, Y が独立であるとき， E[eit(X+Y)]=E[eitX]E[eitY] \color{red} E[e^{it(X+Y)}] = E[e^{itX}]E[e^{itY}] であることを用いると，積率母関数のときと同様に，以下のような証明も可能です。

別証

X∼B(n,p) X\sim B(n,p) のとき，パラメータ p p に従う互いに独立なベルヌーイ分布 Xk (1≤k≤n) X_k \, (1\le k \le n) を用いて，

X=dX1+X2+⋯+Xn X\stackrel{\mathrm{d}}{=} X_1 + X_2 + \dots + X_n


とかける（=d \stackrel{\mathrm{d}}{=} は分布が等しいという意味）。

従って，

E[eitX]=E[eit(X1+⋯+Xn)]=E[eitX1]n \begin{aligned}E[e^{itX}] &= E[e^{it(X_1+\dots+X_n)}] = E[e^{itX_1}]^n \end{aligned}


であり，ベルヌーイ分布の特性関数は，E[eitX1]=1−p+peit E[e^{itX_1}]= 1-p+pe^{it} である(→ベルヌーイ分布とは～定義と性質の導出～)から，

E[eitX]=(1−p+peit)nE[e^{itX}] = (1-p+pe^{it})^n


がわかる。

別証終

二項分布の正規分布による近似

np,np(1−p) np, np(1-p) が十分大きいとき，二項分布 B(n,p) B(n,p) は，正規分布 N(np,np(1−p)) N(np, np(1-p)) で近似できます。

以下は，p=0.4, n=50 p=0.4, \,n=50 のときに二項分布のグラフ（青）と該当する正規分布のグラフ（赤）を重ねたものです。

二項分布の正規分布による近似の具体例

良好に近似できていることが分かりますね。

厳密には，中心極限定理の話になります。

二項分布のポアソン分布による近似

以下の定理が知られています。

定理（ポアソンの少数の法則）

λ>0 \lambda>0 とし，Xn∼B(n,pn) X_n \sim B(n, p_n ) とする。ただし，{pn} \{p_n\} は lim⁡n→∞npn=λ \lim_{n\to\infty}np_n = \lambda をみたす (0,1)(0, 1 ) 値の数列である。

このとき，Xn X_n はパラメータ λ \lambda をもつポアソン分布に分布収束する。すなわち，l=0,1,2,… l=0,1,2,\dots に対し，

lim⁡n→∞P(Xn=l)=e−λλll!. \color{red} \lim_{n\to\infty}P(X_n =l) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^l}{l!}.

ラフに言うと，n n が十分大きく，pn p_n が十分小さいとき，ポアソン分布で近似できるということですね。

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