ポアソン分布の定義と例と性質まとめ

ポアソン分布とは主に，まれな事象が一定時間に起こる回数を表す確率分布で， $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \,\,(k=0,1,2,\ldots)$ と定義されます。これについて，その定義と具体例，性質について詳しく掘り下げましょう。

ポアソン分布の定義

まずは，ポアソン分布の定義を述べ，その確率をグラフを描いてみましょう。

定義（ポアソン分布）

$X$ を確率変数， $\lambda > 0$ とする。 $k=0,1,2,\ldots$ に対し，

\color{red} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda }

が成り立つとき， $X$ はパラメータ $\lambda$ のポアソン分布 (Poisson distribution) に従うという。本記事では，これを $\color{red}X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$ とかくことにする。

まず注意ですが， $e^x$ のマクローリン展開は， $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ですから，

\begin{aligned}P(X=0,1,2,\ldots) &= \sum_{k=0}^\infty P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= e^{\lambda} e^{-\lambda} = 1 \end{aligned}

となって， $P(X=0,1,2,\ldots) = 1$ となりますね。

$\lambda$ を変えて，ポアソン分布の確率(質量)関数 $P(X=k) \,(k=0,1,2,\ldots)$ を図示すると，以下のようになります。

見ての通り， $\lambda$ が大きいほど，山が右に推移するんですね。

ポアソン分布は，(まれに起こる)ある事象に対し，その事象が一定時間に何回発生したかを表す分布として，よく用いられます。たとえば，以下のようなものです。

なお，ポアソン分布でモデル化されるもののポイントは， $1$ 回その事象が発生したからと言って，次発生するかどうかに影響を与えないという点です。たとえば，コールセンターに１回電話があったからと言って，その１時間の間にもう１回電話がかかってこないとは限りません。

また，「一定時間に起こる回数（や人数）」をモデル化したものと説明しましたが，「回数（や人数）」以外をモデル化することもあります。

さて，今回紹介するポアソン分布の性質を，最初に列挙することにしましょう。

	ポアソン分布 $\operatorname{Poisson}(\lambda)$
確率	$P(X=k) = \dfrac{k^\lambda}{k!}e^{-\lambda}\;\,(k=0,1,2,\ldots)$
確率分布の型	離散型
累積分布関数	$\begin{dcases}0 & x<0, \\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \dfrac{k^\lambda}{k!}e^{-\lambda} & x\ge 0 \end{dcases}$
期待値 $E[X]$	$\lambda$
分散 $V(X)$	$\lambda$
標準偏差 $\sqrt{V(X)}$	$\sqrt{\lambda}$
積率母関数(モーメント母関数) $E[e^{tX}]$	$\exp (\lambda(e^t-1))$
特性関数 $E[e^{itX}]$	$\exp(\lambda(e^{it}-1))$
再生性	$\begin{aligned}&X_1 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1), X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2) \\ &\implies X_1+X_2 \sim \operatorname{Poisson} (\lambda_1+\lambda_2)\end{aligned}$
指数分布との関係	$\sup\{k\mid Y_1 +\dots + Y_k \le 1 \}\, (Y_k \sim \operatorname{Exp}(\lambda))$
二項分布との関係(ポアソンの少数の法則)	$\displaystyle \lim_{n\to\infty} Y_n \;(Y_n \sim B(n, p_n)\, \lim_{n\to\infty}np_n=\lambda)$