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指数分布の定義と例と性質まとめ

確率論
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指数分布は,確率が指数関数を用いて表現される,「無記憶性」をもつ唯一の連続型確率分布で,その確率密度関数は p(x) = \lambda e^{-\lambda x} で与えられます。これについて,その定義と具体例,性質をまとめて紹介しましょう。

指数分布の定義

定義(指数分布)

\lambda > 0 とする。確率変数 X の確率密度関数が

\color{red}p(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x } & x\ge 0,\\ 0 & x<0 \end{cases}


となるとき,X は,パラメータ \lambda 指数分布 (exponential distribution) に従うといい, \color{red} X\sim \operatorname{Exp}(\lambda ) と表す。

確率密度関数 y=p(x) のグラフ

確率密度関数が p(x) とは,すなわち,

P(X\in A) = \int_A p(x)\, dx


ということです。密度関数が指数の形をしているので,指数分布というわけですね。
\lambda の値を変化させて,確率密度関数 y=p(x) グラフを描くと,以下のようになります。

λを変えたときに指数分布の確率密度関数がどうなるかを表したグラフ

指数分布の例

指数分布は,「コールセンターに次に電話がかかってくるまでにかかる時間」「次にこの交差点で事故が起こるまでにかかる時間」など,次に何かが起こるまでの時間を表す分布によく使われます。

電話のイラスト

後で紹介しますが,指数分布は無記憶性という,以下の重要な性質があります。

P(X>s+t\,|\,X>s) = P(X>t)


これはすなわち,今までのことは関係なく後のことが起こるといえます。先ほど挙げた,「コールセンターに次に電話がかかってくるまでにかかる時間」や「次にこの交差点で事故が起こるまでにかかる時間」というのは,まさに,「今までのこととは関係なく起こり得る事象」ですね。昨日コールセンターに電話が来ないからと言って,今日来るかどうかに関係ないわけです。

なお,無記憶性をもつ連続型の確率分布は,指数分布のみであることも知られています。なので,「無記憶性」すなわち「今までのこととは関係なく起こり得る事象」で,連続型の分布をモデル化したい場合は,指数分布が最も妥当であるというわけです。

指数分布の性質まとめ

まずは,紹介する指数分布の性質を,一気に列挙しましょう。

指数分布 \operatorname{Exp}(\lambda)
確率の型連続型
確率密度関数 p(x) \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x } & x\ge 0,\\ 0 & x<0 \end{cases}
累積分布関数 F(x)=P(X\le x) \begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}
確率 P(X>x) = 1-F(x) \begin{cases} 1 & x< 0, \\ e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}
期待値(平均) E[X] 1/\lambda
分散 V(X) 1/\lambda^2
標準偏差 \sqrt{V(X)} 1/\lambda
積率母関数 E[e^{tX}] (1-t/\lambda)^{-1}, \,\, t<\lambda
特性関数 E[e^{itX}] (1-it/\lambda)^{-1}
無記憶性 P(X>s+t\,|\,X>s) = P(X>t)
独立同分布な指数分布の和アーラン分布
ポアソン分布との関係 \sup\{n\mid X_1+\dots+X_n \le 1\}

それぞれを,順番に掘り下げていきます。

指数分布の累積分布関数(分布関数)

指数分布の累積分布関数(分布関数)は,

\color{red}F(x)=\begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}


となります。これは,実際に

\begin{aligned} F(x)=P(X\le x)&= \int_{-\infty}^x p(x)\, dx \\ &= \begin{cases} 0 & x< 0 , \\ \int_0^x \lambda e^{-\lambda x } \, dx & x \ge 0 \end{cases} \\ &=\begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}\end{aligned}


となることからわかります。グラフは,下のようになります。

指数分布の累積分布関数(分布関数)

また, \lambda の値を色々変えてみると,累積分布関数は以下のように変わります。

λを変えたときに,指数分布の累積分布関数がどのように変わるのかを表したグラフ

なお,このことから, P(X>x) = 1-F(x)=\begin{cases} 1 & x< 0, \\ e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases} も分かりますね。

指数分布の期待値(平均)・分散・標準偏差

定理(指数分布の期待値・分散・標準偏差)

X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) とするとき, X の期待値・分散・標準偏差はそれぞれ

\color{red}\begin{aligned} E[X] &= \frac{1}{\lambda}, \\ V(X)&= \frac{1}{\lambda^2 } , \\ \sqrt{V(X)} &= \frac{1}{\lambda} \end{aligned}


である。

期待値と標準偏差がともに 1/\lambda になるわけですね。 \lambda \to 0+ とすると \infty に発散し, \lambda \to\infty とすると, 0 に収束します。

証明は,以下の記事で行っています。

指数分布の積率母関数・特性関数

定理(指数分布の積率母関数・特性関数)

X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) とするとき, X の積率母関数・特性関数は,それぞれ

\color{red}\begin{aligned}E[e^{tX}]&=\frac{\lambda}{\lambda-t}, \quad t<\lambda, \\ E[e^{itX}]&=\frac{\lambda}{\lambda-it} \end{aligned}


である。

積率母関数・特性関数はそれぞれラプラス変換・フーリエ変換に対応しており,使い勝手もよいです。証明は,以下で行っています。

指数分布の無記憶性

定理(指数分布の無記憶性)

X を指数分布とするとき,

\color{red}P(X>s+t\,|\,X>s) = P(X>t)


である。これを,無記憶性 (lack of memory property) という。

逆に,連続型の確率分布において,無記憶性をもつ分布は指数分布に限る。

無記憶性をもつ,連続的なモデルを扱いたい場合は,指数分布を用いるのが最も適当である,というわけですね。

前半は明らかで,

\begin{aligned}P(X>s+t\,|\,X>s) &= \frac{P(X>s+t)}{P(X>t)} \\ &= \frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\ &= e^{-\lambda t} \\ &= P(X>t) \end{aligned}


からわかります。詳しくは,以下の記事を参照してください。

独立同分布な指数分布の和はアーラン分布になる

定理(独立同分布な指数分布の和はアーラン分布)

X_1, X_2, \dots , X_n \sim \operatorname{Exp}(\lambda) を独立な確率変数とする。このとき,

\color{red} X_1 + X_2 +\cdots + X_n


は,パラメータ (\lambda, n ) のアーラン分布 (Erlang distribution) に従う。

アーラン分布については,別途記事にしましょう。

指数分布とポアソン分布の関係

指数分布とポアソン分布は,密接な関係にあります。

定理(指数分布とポアソン分布)

X_1,X_2,X_3,\ldots \sim \operatorname{Exp}(\lambda) を独立な指数分布とする。このとき,

\color{red}Y = \sup \{n \in \mathbb{N}\mid X_1 + X_2 +\dots + X_n \le 1\}


は,パラメータ \lambda のポアソン分布 (Poisson distribution) にしたがう。

指数分布をある意味「逆に見たもの」が,ポアソン分布なわけですね。

例を挙げると,コールセンターにおいて「次に電話が来るまでの時間」は指数分布でモデル化され,「ある一定時間に電話が来た回数」はポアソン分布でモデル化されるといった具合です。以下がその一例です。

指数分布とポアソン分布の関係性を図にしたもの

指数分布とポアソン分布は,「同じ現象の見方を変えたもの」と言えますね。

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