写像・関数を定義する記事で,以下のような図を用いました。
この図において,「あまり」がでない,すなわち,終域と値域が一致するとき,この写像を全射といい,「2つ以上の要素が対応」付かないとき,単射といい,全射かつ単射のとき,全単射といいます。
これについて,もう少し正式に定義し,イメージをもてるようにしましょう。
全射・単射・全単射の定義とイメージ
全射の定義
定義(全射)
f\colon X \to Y が全射または上への写像 (surjective) であるとは,
f(X) = Yとなること(ここで, f(X) = \{f(x) \in Y \mid x \in X \} である)。
すなわち,任意の y \in Y に対して,ある x\in X が存在して, f(x) = y となることである。
このとき,まれに
とかかれる。
終域の方に「あまり」がないということです。
図でイメージすると以下のようになります。
このように, Y の全ての要素に矢印が向いていることが分かると思います。
単射の定義
定義(単射)
f\colon X \to Y が単射または1対1写像 (injective) であるとは,
x_1 \ne x_2 \in X \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2)となること。対偶をとっていいかえると,
f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2となることである。
このとき,しばしば
とかかれる。
異なる「矢印」が同じ Y の要素を指さないということです。
図でイメージすると以下のようになります。
異なる矢印が,別の要素を指していることに注意してください。
全単射の定義
定義(全単射)
f\colon X \to Y が全単射または上への1対1写像 (bijective) であるとは,これが全射かつ単射であること。
すなわち,任意の y \in Y に対して, x \in X がただ一つ存在して, f(x) = y となることである。
全射かつ単射であるため, Y に「あまり」がなく,かつ異なる「矢印」が同じ要素を指さないということです。
図でイメージすると以下のようになります。
「すべて」の要素が「1対1に」対応している様子が分かると思います。
具体例を挙げてみましょう。
全射・単射・全単射の具体例
同じ関数でも,定義域や終域を変えることで,全射になったり単射になったりします。具体例とともに確認していきましょう。
例1.
f(x) = x^2 について,
- f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} で考えると全射でも単射でもない。
- f\colon \mathbb{R} \to [0, \infty) で考えると全射となるが単射ではない。
- f\colon [0, \infty) \to \mathbb{R} で考えると単射となるが全射ではない。
- f\colon [0, \infty) \to [0, \infty) で考えると全単射である。
例2.
f(x) = 1/x について,
- f\colon \mathbb{R} \setminus\{0\}\to \mathbb{R} \setminus\{0\} で考えて全単射である。
まとめ
いま一度次の4つのイメージ図を見比べてみましょう。
全射だが単射でない図↓
…… Y の全ての要素に矢印が向いている
単射だが全射でない図↓
…… 異なる矢印が,別の要素を指している
全単射である図↓
…… 「すべて」の要素が「1対1に」対応している
全射でも単射でもない図↓
…… 上のいずれでもない
おわりに
これらのイメージをしっかり持ち,使いこなせるようにしていきましょう。
なお,全単射であるとき,逆関数(逆写像)が定義できます。これについては,以下の記事を参照してください。