逆関数(逆写像)の定義と性質を厳密に～図解付き～

逆関数(逆写像)の定義と性質について図を交えつつ厳密に説明します。

逆関数を厳密に定義するためには，「全単射」という概念が必要です。これについては長くなってしまうため，別の記事で解説しています。以下を参照してください。

なお，そもそも関数とは何か，写像とは何かについては，以下の記事を参照してください。

ここでは，これらの知識をある程度は知っているものとします。

逆関数(逆写像)の定義

全単射のときはもとの「イメージ図」の矢印を逆転させることで，逆関数(逆写像)を考えることができます。

定義（逆関数・逆写像）

$f\colon X\to Y$ が全単射であるとは，
任意の $y \in Y$ に対して， $x \in X$ がただ一つ存在して， $f(x) = y$ となることであった。

これは， $Y$ から $X$ への関数(写像)とみることができる。これを逆関数 (inverse function)，逆写像 (inverse mapping) といい，

\textcolor{red}{f^{-1} \colon Y \to X }

とかく。このとき，

f(x) = y \Longleftrightarrow f^{-1}(y) = x

である。

図で考えてみましょう。まず以下が「全単射」のイメージ図です。

この矢印を全て逆転させることで，逆関数(逆写像)が作れます。

これが，逆関数(逆写像)のイメージです。

ほぼ明らかですが，以下の性質が成立します。

命題（逆関数・逆写像の性質）

$f\colon X \to Y$ を全単射とする。このとき，以下が成立する。

$f^{-1}$ は全単射である。
$(f^{-1})^{-1} = f.$
$X=Y$ とすると， $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \textrm{id}_X.$
$X, Y \subset \mathbb{R}$ とすると， $y=f(x)$ のグラフと $y = f^{-1}(x)$ のグラフは直線 $y = x$ に関して対称である。

ここで， $\textrm{id}_X$ は，定義域と終域がともに $X$ であり， $\textrm{id}_X (x) = x$ となる恒等写像を表します。

恒等写像の定義は以下の記事を参照してください。