∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の使い方

大学数学において，授業やセミナー，ときどき論文や教科書でも使われる記号である，∀(任意の)と∃(存在する)は，それぞれ「全称記号」「存在記号」といわれます。たとえば，

\forall x> 0,\; x^2>0.

は，「任意の $x>0$ に対して， $x^2>0$ が成立する」と同じ意味です。

これについて，その定義・使い方を，さまざまな具体例を交えて解説します。

∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の定義
∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の使い方の例
「ただ一つ存在」の記号∃!, ∃1

∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の定義

定義（ $\forall, \exists$ ）

「任意の～に対して」「全ての～に対して」を記号 $\forall$ を用いて， $\color{red}\boldsymbol{\forall \sim }$ とかくことがある。これを全称記号という。

「ある～が存在して」「少なくとも一つ～があって」を記号 $\exists$ を用いて， $\color{red}\boldsymbol{ \exists \sim}$ とかくことがある。これを存在記号という。

$\forall$ は「任意・全て」を表す All の “A” をひっくり返したもの， $\exists$ は「存在」を表す Exists の “E” をひっくり返したものです。

ちなみに， $\LaTeX$ においてこれを出力するには， $\forall$ は \forall， $\exists$ は \exists とかきます(→【LaTeX】論理記号(否定,かつ,または,任意,存在など)一覧)。

なお，本サイトの他の記事においては，基本的にこの記号は用いずに解説しています。

∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の使い方の例

定義を眺めるより，具体例を確認した方が手っ取り早いので，そうしましょう。

例1.

以下の2つは同じ意味である。(ただし， $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を指す)

任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して， $x^2 \ge 0$ が成立する。
$\forall x\in\mathbb{R} , \; x^2\ge 0.$

「任意の～」の部分が $\forall$ に置き換わっており，コンマで区切って，後ろの主張が書かれていますね。なお，コンマで区切る代わりに，

$\forall x\in \mathbb{R};\; x^2 \ge 0.$
$\forall x\in\mathbb{R} \; [x^2\ge 0].$
$\forall x\in\mathbb{R} \,\text{ s.t. }\, x^2\ge 0.$

のようなかき方をすることもあります。s.t. は such that の略で，「…のような」くらいの意味です。数学では，後ろに主張を書きたいときに，これを用いることがあります。

例2.

以下の2つは同じ意味である。

ある $x\in\mathbb{R}$ が存在して， $x^2 = 0$ が成立する。
$\exists x\in\mathbb{R},\; x^2=0.$

なお「ある～が存在して…」というのは，「…となる～が存在する」と同じ意味です。英語では，”There exists ～ such that …” という言い方をするため，その語順に合わせて日本語訳されることが多いです。いつも英語で読み書きしている研究者にとっては，その方が都合がいい訳ですね。

先ほどの例と同じく，[] で囲ったり，s.t. を用いて書かれることもあります。

例3.

次の2つは同じ意味である。

任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して，ある $y\in\mathbb{R}$ が存在して， $x+y=0$ とできる。
$\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in \mathbb{R},\; x+y=0.$

このように，論理記号を複数並べて書くことも可能です。

ここで， $y$ の取り方は， $x$ によって変えても構いません。実際，上の場合は $y=-x$ ですね。 $y$ の取り方は， $x$ に依存して良いわけです。

例4.

次の2つは同じ意味である。

ある $y\in \mathbb{R}$ が存在して，任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して， $xy=0$ とできる。
$\exists y\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R},\; xy=0.$

さっきと， $\forall, \exists$ の順番が逆なことに注意しましょう。

このとき，例3とは違って， $y$ は $x$ に依存してはいけません。「どんな $x$ でも成立する」ような $y$ を取れると言っているからです。

今回の主張の場合は， $y=0$ と取れば，全ての $x$ で $xy=0$ が成立しますね。

例5(イプシロンエヌ論法).

以下の2つは同じ意味である。

任意の $\varepsilon >0$ に対して，ある $N\ge 0$ が存在して， $n\ge N \implies |a_n-a| < \varepsilon$ が成立する。
$\forall \varepsilon > 0, \exists N \ge 0, \; n\ge N \implies |a_n-a| < \varepsilon.$

これは，大学で最初で習うイプシロンエヌ論法の主張です。イプシロンエヌ論法については，イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～を参照してください。