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累積分布関数(分布関数)の定義と例と性質7つ

2021.06.24
確率論
用語・記号の定義大学教養
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確率論における，累積分布関数（もしくは単に分布関数ともいう）は，F(x)=P(X≤x) F(x) = P(X\le x ) と定義されます。これについて，その例と性質7つを紹介します。

累積分布関数(分布関数)の定義

まずはもう一度，定義をちゃんと述べておきましょう。

定義（累積分布関数；分布関数）

X X を実数値確率変数とする。このとき，

F(x)=P(X≤x)=P(X∈(−∞,x]) \color{red} F(x) = P(X\le x) = P(X\in (-\infty, x] )


を累積分布関数 (cumulative distribution function; CDF) または単に分布関数 (distribution function) という。

測度論的確率論では，単に「分布関数」ということの方が多いです。

もし X X が連続型確率分布であり，その確率密度関数を p(x) p(x) とすると，

F(x)=P(X∈(−∞,x])=∫−∞xp(x) dx F(x) = P(X\in (-\infty, x] ) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx

すなわち，確率密度関数の不定積分になるわけですね。

累積分布関数(分布関数)の例

例を３つ挙げましょう。

離散一様分布の累積分布関数

P(X=k)=1n(k=1,2,…,n) P(X=k) = \frac{1}{n}\quad (k=1,2,\ldots, n )


となる離散一様分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，

F(x)=P(X≤x)=∑k≤xP(X=k)=⌊x⌋nF(x)=P(X\le x) = \sum_{k\le x} P(X=k) = \frac{\lfloor x \rfloor}{n}


とかけます。ただし，⌊x⌋\lfloor x \rfloor は床関数(ガウス記号)を表します。図で描くと，以下の通りです。

離散一様分布の確率質量関数と累積分布関数

離散型の確率変数の場合は，累積分布関数は不連続な関数になります。

離散一様分布の詳細については，一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ～離散型・連続型～を参照してください。

連続一様分布の累積分布関数

確率密度関数が p(x)={1b−aa≤x≤b,0otherwise p(x) = \begin{dcases} \frac{1}{b-a} & a\le x \le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{dcases} となる連続一様分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，

F(x)=∫−∞xp(x) dx={0x≤a,x−ab−aa≤x≤b,1b≤x F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{dcases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} &a\le x \le b, \\ 1 & b \le x \end{dcases}


となります。図で描くと，下のようになります。

連続一様分布の詳細については，一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ～離散型・連続型～を確認してください。

指数分布の累積分布関数

確率密度関数が p(x)={λe−λxx≥0,0x<0 p(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0 , \\ 0 & x < 0 \end{cases} となる指数分布を考えましょう。これについて，累積分布関数は，

F(x)=∫−∞xp(x) dx={0x<0,1−e−λxx≥0 F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{cases} 0 & x< 0, \\ 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \end{cases}


となります。グラフで描くと，以下のようになります。

指数分布については，指数分布の定義と例と性質まとめで解説しています。

累積分布関数(分布関数)の性質7つ

さて，今回考える累積分布関数の性質7つを紹介しましょう。

定理（累積分布関数の性質）

F F を累積分布関数とするとき，

  1. F F は広義単調増加である。
  2. F(−∞)=lim⁡x→−∞F(x)=0,F(∞)=lim⁡x→∞F(x)=1. F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.
  3. F F は右連続である。
  4. F F の不連続点は高々可算個である。
  5. 確率密度関数 p(x) p(x) が存在するとき，F F は連続である。
  6. P(a<X≤b)=F(b)−F(a),P(a≤X≤b)=F(b)−F(a−). P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし，F(a−)=lim⁡x→a−F(x) F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。
  7. P(X≥0)=1 P(X\ge 0) = 1 （すなわち F(0−)=0 F(0-)=0 ）のとき，E[X]=∫0∞(1−F(x)) dx∈[0,∞]. E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].

順番に考えていきましょう。

1. 累積分布関数が広義単調増加であること

これは，x<y x< y とすると，

F(x)=P(X≤x)≤P(X≤y)=F(y) F(x) = P(X\le x) \le P(X\le y) = F(y)


なので，明らかでしょう。

2. F(-∞)=0, F(∞)=1 であること

2. F(−∞)=lim⁡x→−∞F(x)=0,F(∞)=lim⁡x→∞F(x)=1. F(-\infty) = \lim_{x\to-\infty} F(x) =0 , \quad F(\infty)=\lim_{x\to\infty} F(x) =1.

証明

X X は実数値確率変数なので，

lim⁡x→−∞F(x)=lim⁡x→−∞P(X≤x)=P(X≤−∞)=0\begin{aligned}\lim_{x\to -\infty} F(x) &= \lim_{x\to -\infty} P(X\le x)\\ &= P(X\le -\infty) = 0 \end{aligned}


であり，

lim⁡x→∞F(x)=lim⁡x→∞P(X≤x)=P(X≤∞)=1 \begin{aligned}\lim_{x\to \infty} F(x) &= \lim_{x\to \infty} P(X\le x)\\ &= P(X\le \infty) = 1 \end{aligned}


である。

証明終

3. 累積分布関数は右連続であること

3. F F は右連続である。

証明

a<x a< x としよう。このとき，

lim⁡x→a+F(x)=lim⁡x→a+P(X≤x)=P(X≤a)=F(a)\begin{aligned} \lim_{x\to a+} F(x) &= \lim_{x\to a+} P(X\le x)\\&= P(X\le a) = F(a) \end{aligned}


であるから，F F は右連続である。

証明終

4. 累積分布関数の不連続点が高々可算個であること

4. F F の不連続点は高々可算個である。

これについては，F F の単調性（性質1）から，「単調な関数の不連続点は高々可算個である」というFrodaの定理が適用できるため，従います。Frodaの定理については，以下の記事を参照してください。

【Frodaの定理】単調関数の不連続点は高々可算個であることの証明
広義単調増加，または広義単調減少な関数は，不連続点があってもそれは高々可算個しかないことを証明します。証明は比較的シンプルだと思います。私も，最初にこの定理の証明を見たときはあまりにシンプルで感動しました。皆さんともこの感動を共有できると幸いです！
mathlandscape.com

5. 確率密度関数が存在するとき，累積分布関数が連続であること

5. 確率密度関数 p(x) p(x) が存在するとき，F F は連続である。

これは，

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xp(y) dy F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x p(y)\, dy


と積分表示できることから，明らかですね。

6. P(a<X≤b) = F(b)-F(a), P(a≤X≤b) = F(b)-F(a-)

6. P(a<X≤b)=F(b)−F(a),P(a≤X≤b)=F(b)−F(a−). P(a<X\le b) = F(b) - F(a), \quad P(a\le X\le b ) = F(b)-F(a-) . ただし，F(a−)=lim⁡x→a−F(x) F(a-) = \lim_{x\to a-} F(x) と定義する。

証明

前半は

F(b)−F(a)=P(X≤b)−P(X≤a)=P(a<X≤b)\begin{aligned} F(b)-F(a)&=P(X\le b)-P(X\le a) \\&= P(a<X\le b) \end{aligned}


より。後半について，x<a x<a とすると，

F(a−)=lim⁡x→a−P(X≤x)=P(X<a) F(a-) = \lim_{x\to a-} P(X\le x)= P(X<a)


であることから，

F(b)−F(a−)=P(X≤b)−P(X<a)=P(a≤X≤b)\begin{aligned} F(b)-F(a-)&=P(X\le b)-P(X<a) \\&= P(a\le X\le b) \end{aligned}


となって従う。

証明終

なお，F(x−)=P(X<x) F(x-) = P(X<x ) となることから，この関数は左連続になります。

7. 期待値の累積分布関数による表現

7. P(X≥0)=1 P(X\ge 0) = 1 （すなわち F(0−)=0 F(0-)=0 ）のとき，E[X]=∫0∞(1−F(x)) dx∈[0,∞]. E[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\, dx\in [0,\infty].

これは，いわゆる部分積分公式と言えます。証明には，少し高度な知識が必要です。

なお，1−F1- F が積分可能なことは，F F の単調性と，「単調な関数は積分可能」であることから，大丈夫です（→ リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例）。

証明

確率 1 1 で X≥0 X \ge 0 であることと，F F が広義単調増加であること（性質1）から，

∫0∞(1−F(x)) dx=∫0∞∫x∞dF(y) dx=∫0∞∫0ydx dF(y)=∫0∞y dF(y)=E[X]. \begin{aligned} \int_0^\infty (1-F(x))\, dx &= \int_0^\infty \int_x^\infty dF(y)\, dx \\ &= \int_0^\infty \int_0^y dx\, dF(y) \\ &= \int_0^\infty y \,dF(y) \\ &= E[X] .\end{aligned}


ただし，dF(y) dF(y) はリーマン－スティルチェス積分である。

証明終

全ての性質が証明できましたね。