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群の生成とは~定義と具体例~

群・環・体
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の部分集合によって生成される部分群について,その定義と関連する話題を述べます。

群の生成

定義(群の生成)

G S\subset G をその部分集合とする。 s_1,s_2,\dots, s_n \in S (同じものがあってもよい) と整数 a_1, a_2,\dots, a_n に対して,

\color{red} s_1^{\pm a_1} s_2^{\pm a_2} \dots s_n^{\pm a_n}


の形にかける元全体の集合は G部分群になる。これを,集合 S生成される部分群 (subgroup generated by S ) といい,\color{red} \langle S\rangle とかく。このとき, S生成系 (generating set) S の元を生成元 (generator) という。

群の生成

なお, \langle S\rangle = G となるとき, S G生成系といいます。

s_1^{\pm a_1} s_2^{\pm a_2} \dots s_n^{\pm a_n} n は,有限値であれば自由に動いて構いません。

部分群であることを確認しましょう。 x,y\in \langle S\rangle \implies xy^{-1}\in \langle S\rangle を示せばよいです(→部分群の定義と判定方法~例4つと性質~)。

x,y\in \langle S\rangle とすると, x = s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} ,\; y = s_{21}^{a_{21}}\dots s_{2n}^{a_{2n}} と表せます。このとき,

\begin{aligned}xy^{-1} &= s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} ( s_{21}^{a_{21}}\dots s_{2n}^{a_{2n}} )^{-1}\\ &= s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} s_{2n}^{-a_{2n}}\dots s_{21}^{-a_{21}} \in \langle S\rangle \end{aligned}


ですね。よって \langle S\rangle は部分群です。

群の生成の具体例

S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\} のとき,\langle \{s_1, s_2, \dots, s_n \} \rangle は単に \color{red} \langle s_1,s_2,\dots, s_n\rangle とかきます。これを踏まえて,具体例を挙げましょう。

例1.

和(加法)に関する群 \mathbb{Z} の部分群について,

  1. \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}
  2. \langle 3 \rangle=3\mathbb{Z}
  3. \langle 2, 3 \rangle= \mathbb{Z}

3.については, 3-2=1 が作れるので,1.と同じことになります。

例2.

積(乗法)に関する群 \mathbb{R}\setminus \{0\} の部分群について,

  1. \langle 1 \rangle = \{1\}
  2. \langle -1 \rangle =\{\pm 1\}
  3. \langle 2 \rangle = \{2^n \mid n\in\mathbb{Z}\}
  4. \langle \mathbb{Z}\setminus \{0\} \rangle = \mathbb{Q}\setminus \{0\}

ちょっと難易度を上げましょう。

例3.

対称群 S_n \; (n\ge 3) の部分群について,

  1. \langle (12) \rangle = \{1, (12)\}
  2. \langle (123) \rangle = \{1,(123), (132)\}

1 は恒等写像を指すこととします。

例4.

実数係数多項式全体の集合 \mathbb{R}[x] を和(加法)に関する群と見たとき,その部分群について

  1. \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}
  2. \langle \mathbb{R}, x \rangle = \{ nx+r \mid n\in\mathbb{Z},\, r\in\mathbb{R}\}
  3. \langle \mathbb{R}, \mathbb{R}x, \mathbb{R}x^2 , \dots \rangle = \mathbb{R}[x]

関連する話題

生成元がたった一つの元からなる群を巡回群 (cyclic group) といいます。これについては,以下で解説しています。