群の部分集合によって生成される部分群について，その定義と関連する話題を述べます。
群の生成
定義（群の生成）
G を群， S\subset G をその部分集合とする。 s_1,s_2,\dots, s_n \in S (同じものがあってもよい) と整数 a_1, a_2,\dots, a_n に対して，
\color{red} s_1^{\pm a_1} s_2^{\pm a_2} \dots s_n^{\pm a_n}
の形にかける元全体の集合は G の部分群になる。これを，集合 S で生成される部分群 (subgroup generated by S ) といい，\color{red} \langle S\rangle とかく。このとき， S を生成系 (generating set)， S の元を生成元 (generator) という。
なお， \langle S\rangle = G となるとき， S を G の生成系といいます。
s_1^{\pm a_1} s_2^{\pm a_2} \dots s_n^{\pm a_n} の n は，有限値であれば自由に動いて構いません。
部分群であることを確認しましょう。 x,y\in \langle S\rangle \implies xy^{-1}\in \langle S\rangle を示せばよいです(→部分群の定義と判定方法～例4つと性質～)。
x,y\in \langle S\rangle とすると， x = s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} ,\; y = s_{21}^{a_{21}}\dots s_{2n}^{a_{2n}} と表せます。このとき，
\begin{aligned}xy^{-1} &= s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} ( s_{21}^{a_{21}}\dots s_{2n}^{a_{2n}} )^{-1}\\ &= s_{11}^{a_{11}}\dots s_{1m}^{a_{1m}} s_{2n}^{-a_{2n}}\dots s_{21}^{-a_{21}} \in \langle S\rangle \end{aligned}
ですね。よって \langle S\rangle は部分群です。
群の生成の具体例
S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\} のとき，\langle \{s_1, s_2, \dots, s_n \} \rangle は単に \color{red} \langle s_1,s_2,\dots, s_n\rangle とかきます。これを踏まえて，具体例を挙げましょう。
例1.
和(加法)に関する群 \mathbb{Z} の部分群について，
- \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}
- \langle 3 \rangle=3\mathbb{Z}
- \langle 2, 3 \rangle= \mathbb{Z}
3.については， 3-2=1 が作れるので，1.と同じことになります。
例2.
積(乗法)に関する群 \mathbb{R}\setminus \{0\} の部分群について，
- \langle 1 \rangle = \{1\}
- \langle -1 \rangle =\{\pm 1\}
- \langle 2 \rangle = \{2^n \mid n\in\mathbb{Z}\}
- \langle \mathbb{Z}\setminus \{0\} \rangle = \mathbb{Q}\setminus \{0\}
ちょっと難易度を上げましょう。
例3.
対称群 S_n \; (n\ge 3) の部分群について，
- \langle (12) \rangle = \{1, (12)\}
- \langle (123) \rangle = \{1,(123), (132)\}
1 は恒等写像を指すこととします。
例4.
実数係数多項式全体の集合 \mathbb{R}[x] を和(加法)に関する群と見たとき，その部分群について
- \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}
- \langle \mathbb{R}, x \rangle = \{ nx+r \mid n\in\mathbb{Z},\, r\in\mathbb{R}\}
- \langle \mathbb{R}, \mathbb{R}x, \mathbb{R}x^2 , \dots \rangle = \mathbb{R}[x]
関連する話題
生成元がたった一つの元からなる群を巡回群 (cyclic group) といいます。これについては，以下で解説しています。
