ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合とは，ものすごく崩して言うと， \R における開区間・閉区間をより一般の集合で考えたようなものです。開集合・閉集合について定義し，その例を紹介します。
一般の位相空間における開集合・閉集合は以下の記事で解説しています。
ユークリッド空間における開集合・閉集合
定義の仕方はいろいろありますが，個人的に一番イメージしやすいものを採用し，その後に詳細に掘り下げて別の定義も紹介する流れにします。
n 次元ユークリッド空間 \R^n に対し，2点 x=(x_1, \ldots, x_n), \, y = (y_1, \ldots , y_n)\in \R^n の距離は
\textcolor{red}{\large d(x, y)}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}
です。 \varepsilon >0 に対し，点 a\in \R^n における \varepsilon-近傍を
とします。すなわち，a\in \R^n と距離が \varepsilon 未満の点の集合です。
ユークリッド空間における開集合
まずは開集合を定義しましょう。
定義1（ユークリッド空間の開集合）
\R^n の部分集合 A\subset \R^n について，次の条件をみたすとき， A を開集合 (open set) という。
任意の x\in A に対し，ある \varepsilon>0 が存在して， B_\varepsilon (x)\subset A となる。
ただし，空集合 \emptyset も開集合と考える。
A 内のどんな点を取っても，その点の周りに A に入る円板が描けるような集合 A を開集合というわけです。具体例をみてイメージを膨らませましょう。
ユークリッド空間における開集合の例
開集合の例1（\R における区間）
開区間 (0,1)\subset \R は開集合である。一方で， [0,1), (0,1], [0,1]\subset \R は開集合でない。
他に， (-\infty, 0), (0,\infty), (-\infty, \infty)=\R は開集合であるが， (-\infty, 0], [0,\infty), \{x\}\subset \R は開集合でない。
(0,1) だけでなく，より一般の (a,b) でも同じです。
任意の a\in (0,1) に対し， 0<\varepsilon < \min\{ a, 1-a\} となる \varepsilon をとると，
(a-\varepsilon , a+\varepsilon )\subset (0,1)
とでき， \R において左辺は B_\varepsilon(a) のことを指すので，開集合です。一方で， [0,1) における点 0 については， (-\varepsilon , \varepsilon )\subset [0,1) となる \varepsilon >0 は存在しないため，開集合ではありません。 (0,1],[0,1] も同様に開集合ではありません。
1点集合 \{x\} についても， (x-\varepsilon , x+\varepsilon )\subset \{x\} となる \varepsilon >0 は存在しませんので，開集合ではありません。一方で，全体集合 \R は，任意の a\in \R に対して，(a-1, a+1)\subset \R とできますから，開集合です。
開集合の例2（\Rにおける他の集合）
\R において， (0,1)\cup (2,3) や (-\infty, 0)\cup (0,\infty) は開集合である。
また，整数全体の集合 \mathbb{Z} や有理数全体の集合 \mathbb{Q} は開集合でない。
(0,1)\cup (2,3) のように，開区間を組み合わせたものも開集合です。
一方， q\in \mathbb{Q} に対し， (q-\varepsilon,q+\varepsilon)\subset \mathbb{Q} をみたす \varepsilon >0 は存在しませんから，\mathbb{Q} は 開集合ではありません。\mathbb{Z} も同じです。
開集合の例3（\R^2）
\R^2 において，
A= \{(x, y)\in \R^2 \mid y>x^2\}
は開集合である。
ユークリッド空間における閉集合
つづいて，閉集合について考えます。
定義2（ユークリッド空間における閉集合）
\R^n の部分集合 A\subset \R^n について，次の条件をみたすとき A を閉集合 (closed set) という。
任意の収束する点列 \{x_n\} \subset A に対し， \lim_{n\to\infty}x_n\in A となる。
ただし，空集合 \emptyset も閉集合と考える。
A における点列が収束すれば，その収束先も A 内にあるということですね。一番イメージしやすい定義であると思いますが，その他の定義方法もあるので，後で紹介しましょう。
ユークリッド空間における閉集合の例
閉集合の例1（\R）
閉区間 [0,1]\subset \R は閉集合である。一方で， (0,1),[0,1), (0,1]\subset \R は閉集合でない。
他に， (-\infty, 0], [0,\infty), (-\infty, \infty)=\R, \{x\}\subset \R は閉集合であるが， (-\infty, 0), (0,\infty) は開集合でない。
[0,1] だけでなく，より一般の [a,b] でも同じです。
\{x_n\} \subset [0,1] が x\in \R に収束するとすると， x\in [0,1] です。よって， [0,1] は閉集合です。
一方で， \{x_n\} \subset (0,1) が x\in \R に収束するとしても， x\in (0,1) とは限りません。たとえば， x_n =1/n とすると， x=0 ですね。よって， (0,1) は閉集合ではありません。
また， \R の収束列は，実数値に収束するため， \R は閉集合であり，1点集合 \{x\} 上の点列は x,x,x,\ldots しかなく，これは x に収束するため， \{x\} は閉集合です。
閉集合の例2（\Rにおける他の集合）
\R において， [0,1]\cup [2,3] や整数全体の集合 \mathbb{Z} は閉集合である。
一方で有理数全体の集合 \mathbb{Q} は閉集合でない。
[0,1]\cup [2,3] のように，閉区間の和集合も閉集合です。また， \mathbb{Z} における数列が収束するには，最終的にずっと同じ整数になっていないといけないため，その整数が収束値であり， \mathbb{Z} は閉集合だと分かります。
一方で，有理数列は，収束しても必ずしも収束先が有理数になるといえませんから，\mathbb{Q} は閉集合ではありません。
閉集合の例3（\R^2）
\R^2 において，
A= \{(x, y)\in \R^2 \mid y\ge x^2\}
は開集合である。また，
も閉集合である。
ここで，注意を述べておきます。
ユークリッド空間の内部(開核)・境界・外部と開集合・閉集合
ユークリッド空間の内部(開核)・境界・外部と，開集合・閉集合の関係について述べましょう。
まず，集合における内部(開核)・境界・外部について，定義を紹介しましょう。詳しくは，内部(開核)・外部・境界について詳しく図解～距離空間・位相空間～で解説しています。
A\subset \R^n とする。
- a\in \R^n とする。ある \varepsilon >0 が存在して，
\color{red}B_\varepsilon(a)\subset A
とできるとき，a を A の内点 (interior point) という。 A の内点全体の集合を A の内部 (interior) または開核といい， A^\circ または A^i または \color{red} \operatorname{Int}(A) とかく。 - A^c の内点を A の外点 (exterior point) という。 A の外点全体の集合(すなわち A^c の内部)を A の外部 (exterior point) といい，A^e または \color{red} \operatorname{Ext}(A) とかく。外点は，ある \varepsilon>0 が存在して，
\color{red}B_\varepsilon(a)\cap A=\emptyset
とできる点 a\in \R^n，と定義してもよい。 - A の内点でも外点でもない集合を A の境界点 (boundary point) という。 A の境界点全体の集合を境界 (frontier, boundary) といい， A^f または \color{red} \partial A とかく。境界点は，任意の \varepsilon >0 に対し，
\color{red}B_\varepsilon(a)\cap A\ne \emptyset\,\text{ and }\, B_\varepsilon(a)\cap A^c\ne \emptyset
となる点 a\in \R^n，と定義してもよい。
以下の図がイメージしやすいでしょう。
詳しくは，以下で解説しています。
内部(開核)・境界・外部を知っていると，開集合・閉集合は以下のように定義してもかまいません。
定義3（開集合・閉集合の内部(開核)・境界・外部を用いた定義）
\R^n の部分集合 A\subset \R^n について，
- \large\color{red}A= \operatorname{Int}(A) をみたすとき， A を開集合 (open set) という。
- \large \color{red}A = \operatorname{Int}(A)\cup \partial A をみたすとき， A を閉集合 (closed set) という。これは，「任意の \varepsilon >0 に対し，
\large B_\varepsilon (a)\cap A\ne \emptyset
となる点 a\in \R^n 全体が A に一致する集合 A」を閉集合と言っても同じである。
定義1，2との同値性を軽く確認しておきましょう。
定義1, 2と3の同値性の証明
開集合については，定義を少し言い換えたに過ぎないから明らか。
閉集合について示す。 A\subset \R^n が定義3.2の意味で閉集合であるとする。 \{ a_n\}\subset A を任意の収束列とする。収束先を a\in \R^n とすると，任意の \varepsilon >0 に対し，ある N\ge 1 が存在して，
n\ge N \implies d(a_n, a)<2\varepsilon
とできる。これにより， a_n\in B_\varepsilon (a) \cap A\; (n\ge N) となるため， B_\varepsilon (a) \cap A\ne\emptyset である。 A は定義3.2の意味で閉集合なので， a\in A でなければならず，これにより， A は定義2の意味で閉集合である。
逆に， A\subset \R^n が定義2の意味で閉集合であるとする。 a\in \R^n が任意の \varepsilon >0 で B_\varepsilon (a)\cap A\ne \emptyset をみたすとする。各 n\ge 1 に対し， a_n \in B_{1/n} (a)\cap A となる点を取り，数列 \{a_n\} を構成すると， a_n \xrightarrow{n\to\infty} a である。定義2より， a\in A である。ゆえ， A は定義3.2もみたしている。
証明終
距離空間における開集合・閉集合
距離空間における開集合・閉集合の定義は，ユークリッド空間におけるものと全く同じと考えて問題ないです。
以下で， (X, d) を距離空間とします。 \varepsilon >0 に対し，点 x\in X における \varepsilon-近傍を
\textcolor{red}{\large B_\varepsilon(a)}=\{ x\in \R^n \mid d(a, x)<\varepsilon\}
とすると，定義は全く同じです。
定義4（距離空間における開集合・閉集合）
(X, d) を距離空間とし， A\subset X とする。
- 任意の x\in A に対し，ある \varepsilon>0 が存在して， B_\varepsilon (x)\subset A となるとき， A を開集合 (open set) という。ただし，\emptyset も開集合と考える。
- 任意の収束する点列 \{x_n\} \subset A に対し， \lim_{n\to\infty}x_n\in A となるとき， A を閉集合 (closed set) という。ただし，\emptyset も閉集合と考える。
集合の内部(開核)・境界・外部を使って，別の定義ができることもユークリッド空間のときと同じなので省略します。
距離空間における開集合・閉集合の例
(X, d) を離散距離空間とする。すなわち，
d(x,y)=\begin{cases} 0 & x=y, \\ 1 & x \ne y\end{cases}‘
とする。このとき，すべての部分集合が開集合かつ閉集合である。
A\subset X とすると，a\in A に対し，
\{a\} = B_{1/2}(a)\subset A
ですから， A は開集合です。また， A の点列が収束するなら，いずれは a,a,a,a,\ldots となるはずで， a\in A なので閉集合です。
ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合の性質
開集合・閉集合における大事な性質を紹介し，証明しておきましょう。
1. 開集合・閉集合の補集合
定理1（開集合・閉集合の補集合）
開集合の補集合は必ず閉集合である。逆に，閉集合の補集合は必ず開集合である。
証明
(X, d) を距離空間とし， A\subset X を開集合とすると，内部(開核)・外部・境界について詳しく図解～距離空間・位相空間～より， X は3つの非交和
X=\operatorname{Int}(A)\cup \partial A \cup \operatorname{Ext}(A)
と分解できる。 A は開集合なので， \operatorname{Int}(A)=A であり，
となるから， A^c は閉集合である。ただし，上式の最後の等号は内部(開核)・外部・境界について詳しく図解～距離空間・位相空間～にかいてある。
証明終
2. 開集合系のみたす性質
定理2（開集合系）
(X, d) を距離空間とし， \mathcal{O}\subset 2^X ( 2^X はべき集合)を X における開集合全体の集合とする。このとき，以下が成立する。
- \emptyset\in \mathcal{O},\, X\in \mathcal{O}.
- O_1, O_2, \ldots, O_n \in \mathcal{O} のとき， \bigcap_{k=1}^n O_k \in \mathcal{O}.
- \{O_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda} \subset \mathcal{O} とするとき， \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda \in\mathcal{O}.
2.は有限個の共通部分，3.は無限個，もっと言えば非可算無限個でも構いません。
「急に何だ」と思ったかもしれませんが，実は位相空間の定義をするにあたって，この3つの性質は非常に重要です。この3つの性質に着目して位相空間の定義に一般化されるからです。証明しておきましょう。
証明
1.について
\emptyset\in \mathcal{O} は定義より直ちにわかる。 X\in \mathcal{O} については，任意の x\in X に対し， B_1(x)\subset X よりわかる。
2.について
x\in O_1\cap O_2\cap \cdots\cap O_n とする。 1\le k\le n に対し， x\in O_k より， \varepsilon_k >0 が存在して， B_{\varepsilon_k} (x)\subset O_k とできる。
\varepsilon =\min\{ \varepsilon_1,\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n\}
とすると，すべての 1\le k\le n で B_{\varepsilon} (x)\subset O_k となるから，
となる。したがって，O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n\in \mathcal{O} である。
3.について
x\in \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda とすると，ある \lambda\in \Lambda が存在して， x\in O_\lambda となる。 O_\lambda\in\mathcal{O} なので，ある \varepsilon >0 が存在して，
B_\varepsilon (x)\subset O_\lambda\subset \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda
となるから， \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda\in \mathcal{O} である。
証明終
注意ですが，2.を無限個にすることはできません。たとえば， \R^n において，各 n\ge 1 で B_{1/n}(a) は開集合ですが， \bigcap_{n=1}^\infty B_{1/n}(a) =\{a\} であり，1点集合 \{a\} は開集合ではありません。
より一般の位相空間における開集合・閉集合
上の定理2を一般化したものが，位相空間です。位相空間についても，開集合・閉集合の概念がありますが，定理2で開集合を定義し，定理1で閉集合を定義することが最もメジャーです。位相空間における開集合・閉集合は以下で解説しています。
