ヒルベルト空間における正射影(projection)あるいは直交射影について，その定義を紹介し，関連して正規直交系が与えられた部分空間上への射影について考えましょう。

線形代数学において，ベクトル空間の間の大事な写像は線形写像ですが，無限次元の線形代数ともいわれる関数解析学では，定義域が空間全体とは限らない「線形作用素」が大事になります。今回は，そんな線形作用素について定義し，さらに性質の良い「有界線形作用素」について定義と具体例を紹介していきましょう。

関数解析学における「内積空間」において，直交補空間(orthogonal complement) とは，ある部分ベクトル空間とちょうど直交の関係になるベクトル全体の集合のことを指し，これもまたベクトル空間になります。直交補空間について，その定義と性質とその証明を紹介しましょう。

正規直交系とは，大きさが1であり，互いに直交するベクトルの集まりを指します。また，正規直交基底(完全正規直交系)とは，正規直交系で，かつ全てのベクトルがそれらを用いて表現可能なことをいいます。正規直交系・正規直交基底について，定義と具体例を見ていきましょう。

ヒルベルト空間とは，内積が定義されていて，かつ完備（敷き詰まっている）空間のことを言います。ヒルベルト空間の定義を確認し，関数解析で良く用いられる具体例と基本的性質を述べましょう。

バナッハ空間 (Banach space) とは，距離空間として完備なノルム空間のことを言います。バナッハ空間について，定義を詳しく紹介し，それから具体例5つと基本的性質を述べましょう。