微分方程式 バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明 バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは, 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち,その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて,主張と証明を行いましょう。 2022.06.20 微分方程式
群・環・体 体の定義と具体例4つ 数学,とくに代数学における体 (field) とは,四則演算が定義された集合のことを言います。一般に,代数学においては,群はかけ算・わり算が定義された集合,環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合,体は足し算・引き算・かけ算・わり算(四則演算)が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に,体の定義と具体例を述べましょう。 2022.06.13 群・環・体
数論 【n!がpで割れる回数】ルジャンドルの定理とその証明 ルジャンドルの定理,あるいはルジャンドルの公式(Legendre's formula)とは,n!が素数がpで何回割れるかを表したものです。これについて,定理の主張と証明を行いましょう。 2022.06.09 数論
測度論 本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か 測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは,零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について,ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。 2022.05.16 測度論
関数解析学 ミンコフスキーの不等式とその証明 ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは,L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について,その証明を行いましょう。 2022.04.25 関数解析学
関数解析学 ヘルダーの不等式とその証明 ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)とは,関数解析学における基本的な不等式であり,コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。ヘルダーの不等式について,その主張と証明を分かりやすく紹介します。 2022.04.24 関数解析学
解析学(大学)その他 ヤングの不等式の証明とその一般化 ヤングの不等式(Young's inequality)とは,任意のa,b>0 と 1/p+1/q=1をみたす p,q>1 に対し,ab ≦ a^p/p + b^q/q という不等式のことを言います。これについて,証明とその発展形を紹介しましょう。 2022.04.18 解析学(大学)その他
線形代数学 二次形式とその行列表示 二次形式 (quadratic form) とは,2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について,その定義と,行列を用いた表し方を解説しましょう。 2022.04.11 線形代数学
線形代数学 行列の特異値とは~定義と性質~ 行列の特異値とは,一般のm×n行列に対して定義される固有値みたいなものです。厳密には,AA^*のように正方行列にしてから,固有値を考えます。行列の特異値について,定義と性質を述べましょう。 2022.04.04 線形代数学