二次形式とその行列表示

二次形式とは，2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について，その定義と，行列を用いた表し方を解説しましょう。

二次形式とは

たとえば，1～3変数のときはそれぞれ

\begin{aligned}q(x)&=ax^2,\\ q(x,y)&= ax^2+bxy+cy^2,\\ q(x,y,z)&= ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx \end{aligned}

のような形です。

逆に，1次の項や定数項がある2次の多項式とは q(x)=ax^2+bx+c,\, q(x,y) = ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f のようなものです。 bx,c,dx,ey,f のように，1次や定数の項がありますね。こういうのは二次形式とは言いません。

なお，\sum_{ 1\le i,j\le n} とは， \{(i,j)\mid 1\le i,j\le n\} 全体にわたって和を取ることを意味し， \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n でも同じ意味です。よって，厳密にはたとえば

\begin{aligned}q(x_1,x_2)&=\sum_{1\le i,j\le 2} a_{ij}x_iy_j\\ &= a_{11} x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{21} x_2x_1 +a_{22}x_2^2 \end{aligned}

ですが， x_1x_2=x_2x_1 ですから， a_{12}x_1x_2 と a_{21}x_2x_1 の項はまとめることができて，

q(x_1,x_2)=a_{11} x_1^2+(a_{12}+a_{21})x_1x_2 +a_{22}x_2^2

ですね。よって， q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 とかけるわけです。3変数以上でも， x_ix_j と x_jx_i の項はまとめて (a_{ij}+a_{ji})x_ix_j とかけますね。

なお，ここで， a_{ij}, a_{ji} を a_{ij}+a_{ji} が一定のまま， a_{ij}=a_{ji} と取り直すことで(具体的には， a'_{ij}=a'_{ji}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2} として， a'_{ij},a'_{ji} を新たな a_{ij},a_{ji} と思うことで)， a_{ij}=a_{ji} としても良いです。

二次形式の行列表示

上で述べた， a_{ij}=a_{ji} としても良いことを用います。

二次形式の行列表示の作り方を考えていきましょう。二次形式を

q(x_1,\dots, x_n)=\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2 + \sum_{1\le i<j\le n} 2a_{ij} x_ix_j

と表したときの対称行列 A=(a_{ij}) が行列表示ですから， x_i^2 の係数をそのまま対角成分とし， i\ne j のときは x_ix_j の係数を半分にして (i,j) 成分と (j,i) に当てはめればよいですね。

例題を見ておきましょう。

x_1^2, x_2^2 の係数はそのまま (1,1), (2,2) 成分に当てはめ， x_1x_2 の係数は半分にして (1,2),(2,1) 成分それぞれに当てはめるので，行列表示は

A=\begin{pmatrix} 3& 2\\ 2& -1 \end{pmatrix}

ですね。よって，

q(x_1,x_2)=(x_1,x_2) \begin{pmatrix} 3& 2\\ 2& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}

とかけるわけです。

同様に考えると， 5x_1^2-2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2-2x_2x_3+8x_3x_1

A= \begin{pmatrix} 5& 2&4 \\ 2 & -2& -1 \\ 4 & -1& 3 \end{pmatrix}

ですね。よって，

q(x_1,x_2)=(x_1,x_2，x_3) \begin{pmatrix} 5& 2&4 \\ 2 & -2& -1 \\ 4 & -1& 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}

とかけるわけです。

二次形式は数論や幾何学にも表れる，非常に重要な理論らしいですが，筆者はそうした方面への応用に詳しくありません。また勉強したら紹介します。