同値類と商集合をわかりやすく図解～定義と具体例4つ～

集合において，同値関係の元を集めた「同値類」と，それらを集めた集合である「商集合」は，専門数学における難しい概念の1つでしょう。これについて，具体例・図を交えて解説します。

同値類と商集合の定義
同値類と商集合の具体例
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同値類と商集合の定義

定義（同値類・商集合）

$X$ 上に同値関係 $\sim$ が定まっているとする。このとき，

\color{red} [x]=\{ y\in X\mid x\sim y\}

を同値類 (equivalence class) という。また，同値類全体の集合を，集合 $X$ の同値関係 $\sim$ のよる商集合 (quotient set) といい，

\color{red} {X/\!\sim } = \{ [x] \mid x\in X\}

とかく。

$[x]$ は，代わりに $\overline{x}$ や $C(x)$ という記号を用いたりもします。

定義中に「同値関係」という言葉が出てきたので，一応復習しておきましょう。「同値関係」とは，以下の3つをみたす二項関係です。

同値関係の復習

$x\in X\implies x\sim x$ (反射律)
$x\sim y, y\sim z \implies x\sim z$ (推移律)
$x\sim y \implies y\sim x$ (対称律)

詳しくは，以下で解説しています。

同値類は， $x\sim y \iff [x]=[y]$ が成立し，逆に， $x\not\sim y \iff [x]\cap [y] =\emptyset$ も成立します。
前半は明らかで，後半も，もし $[x]\cap [y]\ne \emptyset$ ならば，共通部分の元の1つを $z$ とすると， $x\sim z\sim y$ となって， $x\sim y$ ですから矛盾ですね。

このことから，同値類によって，集合の元がいくつかの集合にグループ分けされることが分かるでしょう。

このグループ分けを一つの元と見て，それの集合を考えたのが，商集合なわけです。

このとき， $x\mapsto [x]$ となる写像 $\pi \colon X\to X/\!\sim$ が定まります。これを，自然な射影といいます。下図のように，この写像 $\pi$ は射影的な見方ができますね。

同値類と商集合の具体例

理解には，やはり具体例を確認するのが一番でしょう。

例1.

$p$ を素数とする。整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ における， $p$ を法とする合同関係 $\equiv \pmod p$ は同値関係である。

この同値関係により，同値類 $[0], [1],\dots, [p-1]$ を考えることができ，これを元とする，商集合 $\mathbb{Z}/\!\! \equiv$ が作れる。

この同値類を剰余類 (residue class) という。この商集合を剰余体 (residue field) といい， $\color{red} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ や $\color{red} \mathbb{F}_p$ とかく。

$\mod p$ の世界ですね。 $p$ で割った余りについて，整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ 全体を分割し，同じ余りは同じものとみなしているわけです。

実際のところは，毎回 $[0], [1], \dots, [p-1]$ のように括弧をつけるのは面倒なので，普通に $0,1,\dots, p-1 \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ とかかれます。仰々しく $n+p\mathbb{Z} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ とかくこともあります。

例2.

以下， $S^1=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ を単位円とする。

$f\colon \mathbb{R}\to S^1$ を $f(x)=(\cos x, \sin x)$ と定義し， $x,y\in \mathbb{R}$ に対して，

x\sim y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} f(x)=f(y)

と定めた同値関係について，その商集合 $\mathbb{R}/\!\!\equiv$ は $\color{red}\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ とかかれる。

$\mod 2\pi$ の世界です。実際， $x\sim y \iff x-y =2n\pi\; (n\in\mathbb{Z})$ ですね。 $2\pi$ の整数倍で等しいものを，同じものとみなします。イメージとしては，数直線を円周 $2\pi$ の円に巻き付けて，重なるところを同一視する感じです。図で描くと，以下です。