一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ～離散型・連続型～

一様分布（離散一様分布・連続一様分布）の定義と，その諸性質（平均・分散・標準偏差・積率母関数・特性関数など）を導出付きでまとめます。

一様分布の定義

一様分布には，離散一様分布と連続一様分布があります。まずはそれぞれの定義を確認していきましょう。

離散一様分布

X=1,2,3,\dots, n となる確率が等しいということですね。

たとえば，サイコロの出目 X は P(X=1) = P(X=2) = \dots = P(X=6) =1/6 と考えられることから， 1,2,3,\dots, 6 上の離散一様分布に従っていると言えますね。

なお，整数 m<n に対し， k=m, m+1, \dots, n 上の離散一様分布も考えることができますが，今回は省略します。

連続一様分布(1次元)

[a,b] という「連続的」な空間において，各集合に属する確率が「一様」である，ということですね。たとえば，区間 [c,d] \subset [a,b] に対し，

P(X\in [c,d]) = \frac{d-c}{b-a}

になります。

確率密度関数が 1/(b-a) \,\,(a\le x\le b) になるのは，積分して 1 にならないといけないからです。 P(X\in [a,b]) = 1 ですからね。

たとえば，ある区間に，ものを無作為に落としたとき，その区間のどこに落ちるかは，連続一様分布に従っていると言えますね。

一様分布の諸性質まとめ

まず最初に，今回考える諸性質を全て列挙しておきましょう。

	離散一様分布	連続一様分布
定義	1,2,\dots, n 上の離散一様分布	[a,b] 上の連続一様分布
確率	P(X=k) = \frac{1}{n}\\ (k=1,2,\dots,n)	\begin{aligned}&P(X\in A) \\&=\int_{A \cap [a,b]} \frac{dx}{b-a} \end{aligned}
確率分布の型	離散型	連続型
確率密度関数 p(x)	なし	\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x\le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}
累積分布関数 F(x) = P(X\le x)	\begin{cases} 0 & x \le 1, \\ \frac{\lfloor x\rfloor}{n} & 1 \le x \le n , \\ 1 & n\le x \end{cases}	\begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}
平均(期待値) E[X]	\frac{n+1}{2}	\frac{a+b}{2}
分散 V(X)	\frac{n^2-1}{12}	\frac{(b-a)^2}{12}
標準偏差 \sqrt{V(X)}	\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}	\frac{b-a}{2\sqrt{3}}
積率母関数 E[e^{tX}]	\frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}	\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}
特性関数 E[e^{it X}]	\frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})}	\frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t}

これらの，特に累積分布関数以降ついて，順番に確認していきましょう。

離散一様分布の諸性質

まずは，離散一様分布の性質から確認していきましょう。

離散一様分布の累積分布関数

離散一様分布の累積分布関数(分布関数)は

\color{red} F(x) = P(X\le x ) = \begin{cases} 0 & x \le 1, \\ \lfloor x\rfloor/n & 1 \le x \le n , \\ 1 &n \le x \end{cases}

になります。ここで， \lfloor x\rfloor は床関数(ガウス記号)を表します。グラフを描くと以下のようになります。

離散一様分布の平均(期待値)

離散一様分布の平均は

\color{red} E[X] = \frac{n+1}{2} になります。

実際，

E[X] = \sum_{k=1}^n k P(X=k) =\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k =\frac{n+1}{2}

と計算されるからです。

離散一様分布の分散

離散一様分布の分散は

\color{red} V(X) = \frac{n^2-1}{12}

になります。実際，

\begin{aligned}V(X) &= E[X^2]-E[X]^2 \\ &= \sum_{k=1}^n k^2 P(X=k) - E[X]^2 \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}- \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 =\frac{n^2-1}{12} \end{aligned}

と計算されるからです。

離散一様分布の標準偏差

離散一様分布の標準偏差は，分散のルート \sqrt{V(X)} ですから，

\color{red}\sqrt{V(X)} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}

と求めることができます。

離散一様分布の積率母関数(モーメント母関数)

離散一様分布の積率母関数(モーメント母関数)は，

\color{red} E[e^{tX}] = \frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}

となります。実際，等比数列の和の公式を用いて，

\begin{aligned}E[e^{tX}] = \sum_{k=1}^n e^{tk} P(X=k) = \frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}\end{aligned}

と計算されるからです。

離散一様分布の特性関数

離散一様分布の特性関数は，

\color{red} E[e^{itX}] =\frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})}

となります。実際，等比数列の和の公式を用いて，

\begin{aligned} E[e^{itX}] = \sum_{k=1}^n e^{itk} P(X=k) = \frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})}\end{aligned}

と計算されるからです。

連続一様分布の諸性質

続いて，連続一様分布の性質を確認していきましょう。

連続一様分布の累積分布関数

連続一様分布の累積分布関数(分布関数)は，

\color{red} F(x) = P(X \in (-\infty, x]) = \begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}

になります。実際，

F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}

と計算されるからです。グラフを描くと以下のようになります。

連続一様分布の平均(期待値)

連続一様分布の平均は

\color{red}E[X]= \frac{a+b}{2}

になります。実際，

\begin{aligned}E[X] &= \int_{-\infty}^\infty xp(x) \, dx = \frac{1}{b-a}\int_a^b x \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{a+b}{2} \end{aligned}

と計算されるからです。

連続一様分布の分散

連続一様分布の分散は

\color{red} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

になります。実際，2次モーメントについて

\begin{aligned}E[X^2] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 p(x) \, dx = \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 \, dx \\&= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{aligned}

であるため， V(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \dfrac{(b-a)^2}{12} となるからです。

連続一様分布の標準偏差

連続一様分布の標準偏差は，分散のルート \sqrt{V(X)} ですから，

\color{red}\sqrt{V(X)} =\frac{b-a}{2\sqrt{3}}

と求めることができます。

連続一様分布の積率母関数(モーメント母関数)

連続一様分布の積率母関数(モーメント母関数)は

\color{red}E[e^{tX}]=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}

となります。実際，

\begin{aligned} E[e^{tX}] &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} p(x)\, dx \\& = \frac{1}{b-a}\int_a^b e^{tx} \, dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{tx}}{t}\right]_a^b \\&=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t} \end{aligned}

と計算されるからです。

連続一様分布の特性関数

連続一様分布の特性関数は，

\color{red} E[e^{it X}]=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t}

となります。実際，

\begin{aligned} E[e^{itX}] &= \int_{-\infty}^\infty e^{itx} p(x)\, dx \\& = \frac{1}{b-a}\int_a^b e^{itx} \, dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{itx}}{it}\right]_a^b \\&=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t} \end{aligned}

と計算されるからです。

おわりに

一様分布は最も基本的な分布とも言えますから，しっかりと身につけましょう。

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