ファンデルモンドの行列式とその証明2つ

ファンデルモンドの行列式 (ヴァンデルモンドの行列式; Vandermonde determinant) といわれる特殊な行列式について紹介し，それを2通りの方法で証明します。

ファンデルモンド行列の定義

定義（ファンデルモンド行列）

\color{red} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}

をファンデルモンド行列 (Vandermonde matrix) という。

なお，上の転置行列である

\color{red} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots &1\\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}

をファンデルモンド行列とすることもあります。一般に $\det A = \det A^\top$ であるため(→証明はこちら)どちらで定義しても行列式は一致します。

ファンデルモンド行列の行列式( $\det$ )をファンデルモンドの行列式 (Vandermonde determinant) といいます。これについて，以下が成り立ちます。

定理（ファンデルモンドの行列式）

\color{red} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{i<j} (x_j - x_i)

が成立する。

これについて，

の2通りで証明しましょう。

以下では，行列式の定義と求め方はある程度既知とします。これについては，次の記事を参照してください。

証明

行列式の定義から，求める行列式は $0 + 1 + \dots +(n-1) = n(n-1)/2$ 次の多項式であることに注意する。

$x_i = x_j \, (i < j )$ と仮定しよう。このとき，ファンデルモンド行列の第 $i, j$ 行は一致するから，行列式は $0$ となる。よって因数定理により行列式は $(x_j - x_i)$ を因数に持つ。

故に，求める行列式は $\prod_{i<j} (x_j-x_i)$ で割り切れる。 $\prod_{i<j} (x_j - x_i)$ は $n(n-1)/2$ 次の式であるから，求める行列式はこれ以外に(定数以外の)因数を持たない。すなわち，求める行列式は

c \prod_{i<j} (x_j-x_i)

の形である。ファンデルモンド行列の対角成分の積である $x_2 x_3^2 \dots x_n^{n-1}$ の係数を両辺で比較することで， $c = 1$ を得る。

証明終

証明

行列式(det)の定義と現実的な求め方～計算の手順～に従って，式変形していく(式変形の詳細は後で解説してある)。

\small \begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1& x_2^2 - x_1^2& \dots & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2& \dots & x_n^{n-1}- x_1^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2^2 - x_1^2& \dots & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2& \dots & x_n^{n-1}- x_1^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2^2 - x_1x_2& \dots & x_2^{n-1} - x_1x_2^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n^2 - x_1x_n& \dots & x_n^{n-1}- x_1x_n^{n-2} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2(x_2-x_1)& \dots & x_2^{n-2}(x_2-x_1) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n(x_n- x_1)& \dots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \\ &= \prod_{j=2}^n (x_j-x_1) \begin{vmatrix} 1& x_2 & \dots & x_2^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{aligned}

ただし，式変形は以下の手順で行った。

よって数学的帰納法により，結論が従う。

証明終

有用な行列式の1つですから，覚えておくとよいでしょう。

一般の行列式の性質については，以下の記事を参照してください。