写像の像・逆像の定義と具体例をわかりやすく

写像(関数)における像・逆像を定義し，イメージ図と具体例を確認していきましょう。

像・逆像の定義

まずは定義を述べましょう。

定義（像・逆像）

$f\colon X \to Y$ とする。

$A \subset X$ に対し，

\textcolor{red}{f(A) = \{ f(x) \in Y \mid x \in A \}}

を $f$ による $A$ の像 (image) または値域 (range) という。

$B \subset Y$ に対し，

\textcolor{red}{f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}}

を $f$ による $B$ の逆像 (inverse image) または原像 (preimage) という。

なお， $X$ 全体の像は $f(X)$ の代わりに $\color{red}\operatorname{Im} f$ と書くことがあります。

一番最初に注意ですが，逆像の $f^{-1}$ は逆写像のそれとは異なります。逆写像は全単射でないと定義できませんが，今はそうでない，「写像」の意味ではありません。

$f^{-1}$ は逆写像の意味ではない。逆像は全単射じゃなくても定義可能！

この注意をもとに，イメージを考えてみましょう。このとき，以下のような写像を考えます。

像とは $A \subset X$ に対し，集合 $\textcolor{red}{f(A) = \{ f(x) \in Y \mid x \in A \}}$ のことでした。これは，集合 $A$ を $f$ でうつした， $Y$ 部分集合といえます。

イメージ図をみてみましょう。

「集合 $A$ を $f$ でうつした， $Y$ 部分集合」になっていますね。

逆像とは $B \subset Y$ に対し，集合 $\textcolor{red}{f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}}$ のことでした。これは， $f$ でうつした先が $B$ に入り得る $X$ の部分集合全体といえます。

イメージ図をみてみましょう。

「 $f$ でうつした先が $B$ に入り得る $X$ の部分集合全体」になっていますね。

ここで注意ですが， $B$ の一番下の要素(元)は， $f$ の行き先になっていないですが， $f^{-1} (B)$ は考えることができますね。

像・逆像の具体例

$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ とする。

このとき， $f([1, 2]) = [1, 4]$ である。

また， $f^{-1} ([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]$ である。

他に，たとえば

\begin{gathered} f(\{3\}) = \{9\}, \\ f(\mathbb{R}) = [0, \infty), \\ f(\varnothing) = \varnothing, \\ f^{-1}(\{2\}) = \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}, \\ f^{-1}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}, \\ f^{-1} ((-\infty, 0)) = \varnothing \end{gathered}

である。

像・逆像をとってから共通部分・和集合をとった集合と，逆に共通部分・和集合をとった集合に対して，像・逆像をとったものの間には，包含関係が知られています。
これについては，以下を参照してください。