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接平面の方程式とその導出証明

微分積分学(大学)
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曲面 z=f(x,y) (a,b,f(a,b)) における接平面の方程式は

z\!= \!f_x(a,b)(x-a)\!+\!f_y(a,b)(y-b)\!+\!f(a,b)


であり,曲面 f(x,y,z)=0 の点 (a,b,c) における接平面の方程式は

f_x(a,\!b,\!c)\!(x\!\!-\!\!a)\!\!+\!\!f_y( a,\!b,\!c )\!(y\!\!-\!\!b)\!\!+\!\!f_z( a,\!b,\!c )\!(z\!\!-\!\!c)\!=\!0


となります。これについて,その導出の解説を行いましょう。

接平面の方程式

そもそも点 \boldsymbol{x} における「接平面」とは,点 \boldsymbol{x} における接線たちが作る平面を指します。

接平面の方程式を2つ述べましょう。以下で, f_x,f_y, f_z は偏微分を指します(→偏微分とは~定義と例題と図形的意味~)。

定理1(接平面の方程式1)

f(x,y) C^1 級とする。平面 z=f(x,y) の点 (a,b,f(a,b)) における接平面の方程式は

\color{red} z\!= \!f_x(a,b)(x-a)\!+\!f_y(a,b)(y-b)\!+\!f(a,b).

定理2(接平面の方程式2)

f(x,y,z) C^1 級とし, (a,b,c) のまわりで \operatorname{grad} f(= (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} ) )\ne \boldsymbol{0} とする。このとき,点 (a,b,c) における接平面の方程式は

\small \color{red}f_x(a,\!b,\!c)\!(x\!\!-\!\!a)\!\!+\!\!f_y( a,\!b,\!c )\!(y\!\!-\!\!b)\!\!+\!\!f_z( a,\!b,\!c )\!(z\!\!-\!\!c)\!=\!0 .


また, \boldsymbol{x}=(x,y,z),\; \boldsymbol{a}=(a,b,c) と書き直すと,ベクトルの内積を用いて

\color{red}\langle \operatorname{grad} f, \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} \rangle =0


とも表せる。

C^1とは, f_x,f_y が存在して,ともに連続であることを意味します(→C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ)。また, \operatorname{grad} f 勾配 (gradient) といい,\operatorname{grad} f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} , \dfrac{\partial f}{\partial z} \right) と定義されます(→勾配(grad)の定義と意味)。

接平面の方程式2について, \operatorname{grad} \ne \boldsymbol{0} より,陰関数定理から, f(x,y,z)=0 が滑らかな曲面になることが保証されます。

接平面の方程式2は,1の一般化になっています。実際, g(x,y,z)= f(x,y)-z とおくと, g(x,y,z)=0\iff z=f(x,y) であり,またこのとき, \operatorname{grad} g= (*, *, -1)\ne \boldsymbol{0} ですから,定理2の仮定も満たしているため,ちゃんと2は1の一般化になっていますね。

接平面の方程式の導出証明

さて,各方程式の導出証明をしていきましょう。接平面の方程式2は1の一般化ですから2のみ証明すればよいのですが,あえて両方証明してみましょう。

接平面の方程式1(z=型)の導出証明

接平面のイメージ
接平面の方程式のイメージ

証明

f(x,y) C^1 級であるから,特に全微分可能であり,点 (a,b) における \boldsymbol{v}= (\Delta x, \Delta y) 方向の方向微分 \nabla_{\boldsymbol{v}} f は,ベクトルの内積を用いて

\langle \operatorname{grad} f(a,b),\boldsymbol{v} \rangle = f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y


とかける(→方向微分とは~定義・性質・求め方を詳しく~)。これは,接平面の方程式が

z-f(a,b)= f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)


であることを意味する。

証明終

接平面の方程式2(一般型)の導出証明

つづいて,一般系の証明も考えます。こちらは,接平面の法線ベクトルを考えます。

証明

曲面 f(x,y,z)=0 M\subset \mathbb{R}^3 とする。このとき, (a,b,c) における曲面の法線ベクトルは \operatorname{grad} f(a,b,c) であることを示そう。

I\subset \mathbb{R} とし, \boldsymbol{r}\colon I\ni t \mapsto (x(t),y(t),z(t))\in M を, (a,b,c) を通る,曲面 M 上の滑らかな曲線とする。 \boldsymbol{r}(t) は曲面 M 上にあるから,f(x(t),y(t), z(t))=0 であり,この両辺を t で微分すると,

f_xx'(t)+f_yy'(t)+f_z z'(t)=0.


すなわち,ベクトルの内積を用いて \langle \operatorname{grad} f, \boldsymbol{r'}(t)\rangle=0 とかける。これは, \operatorname{grad} f は,接線方向 \boldsymbol{r'}(t) と垂直であることを意味する。よって, \operatorname{grad}f は曲面 M の法線ベクトルである。

ゆえに,接平面の方程式は, (a,b,c) を通り, \operatorname{grad}f(a,b,c) = (f_x(a,b,c), f_y(a,b,c), f_z(a,b,c)) を法線ベクトルとする平面の方程式であるから,

\small f_x(a,\!b,\!c)\!(x\!\!-\!\!a)\!\!+\!\!f_y( a,\!b,\!c )\!(y\!\!-\!\!b)\!\!+\!\!f_z( a,\!b,\!c )\!(z\!\!-\!\!c)\!=\!0


となる。

証明終

f(x,y,z)=0 の法線方向が \operatorname{grad} f であることについては,2次元のときに考えてみましょう。

2次元 f(x,y)=0 のときは,等高線をイメージして, \operatorname{grad} f は最大傾斜方向なので,等高線と垂直になりますね(→勾配(grad)の定義と意味)。今は,これの3次元版といえます。

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