接平面の方程式とその導出証明

曲面 $z=f(x,y)$ の $(a,b,f(a,b))$ における接平面の方程式は

z\!= \!f_x(a,b)(x-a)\!+\!f_y(a,b)(y-b)\!+\!f(a,b)

であり，曲面 $f(x,y,z)=0$ の点 $(a,b,c)$ における接平面の方程式は

f_x(a,\!b,\!c)\!(x\!\!-\!\!a)\!\!+\!\!f_y( a,\!b,\!c )\!(y\!\!-\!\!b)\!\!+\!\!f_z( a,\!b,\!c )\!(z\!\!-\!\!c)\!=\!0

となります。これについて，その導出の解説を行いましょう。

接平面の方程式
接平面の方程式の導出証明
1. 接平面の方程式1(z=型)の導出証明
2. 接平面の方程式2(一般型)の導出証明
関連する記事

接平面の方程式

そもそも点 $\boldsymbol{x}$ における「接平面」とは，点 $\boldsymbol{x}$ における接線たちが作る平面を指します。

接平面の方程式を2つ述べましょう。以下で， $f_x,f_y, f_z$ は偏微分を指します(→偏微分とは～定義と例題と図形的意味～)。

定理1（接平面の方程式1）

$f(x,y)$ を $C^1$ 級とする。平面 $z=f(x,y)$ の点 $(a,b,f(a,b))$ における接平面の方程式は

\color{red} z\!= \!f_x(a,b)(x-a)\!+\!f_y(a,b)(y-b)\!+\!f(a,b).

定理2（接平面の方程式2）

$f(x,y,z)$ を $C^1$ 級とし， $(a,b,c)$ のまわりで $\operatorname{grad} f(= (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} ) )\ne \boldsymbol{0}$ とする。このとき，点 $(a,b,c)$ における接平面の方程式は

\small \color{red}f_x(a,\!b,\!c)\!(x\!\!-\!\!a)\!\!+\!\!f_y( a,\!b,\!c )\!(y\!\!-\!\!b)\!\!+\!\!f_z( a,\!b,\!c )\!(z\!\!-\!\!c)\!=\!0 .

また， $\boldsymbol{x}=(x,y,z),\; \boldsymbol{a}=(a,b,c)$ と書き直すと，ベクトルの内積を用いて

\color{red}\langle \operatorname{grad} f, \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} \rangle =0

とも表せる。

$C^1$ 級とは， $f_x,f_y$ が存在して，ともに連続であることを意味します(→C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ)。また， $\operatorname{grad} f$ は勾配 (gradient) といい， $\operatorname{grad} f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} , \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)$ と定義されます(→勾配(grad)の定義と意味)。

接平面の方程式2について， $\operatorname{grad} \ne \boldsymbol{0}$ より，陰関数定理から， $f(x,y,z)=0$ が滑らかな曲面になることが保証されます。

接平面の方程式2は，1の一般化になっています。実際， $g(x,y,z)= f(x,y)-z$ とおくと， $g(x,y,z)=0\iff z=f(x,y)$ であり，またこのとき， $\operatorname{grad} g= (*, *, -1)\ne \boldsymbol{0}$ ですから，定理2の仮定も満たしているため，ちゃんと2は1の一般化になっていますね。

接平面の方程式の導出証明

さて，各方程式の導出証明をしていきましょう。接平面の方程式2は1の一般化ですから2のみ証明すればよいのですが，あえて両方証明してみましょう。

接平面の方程式1(z=型)の導出証明

証明

$f(x,y)$ は $C^1$ 級であるから，特に全微分可能であり，点 $(a,b)$ における $\boldsymbol{v}= (\Delta x, \Delta y)$ 方向の方向微分 $\nabla_{\boldsymbol{v}} f$ は，ベクトルの内積を用いて

\langle \operatorname{grad} f(a,b),\boldsymbol{v} \rangle = f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y

とかける(→方向微分とは～定義・性質・求め方を詳しく～)。これは，接平面の方程式が

z-f(a,b)= f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)

であることを意味する。

証明終

接平面の方程式2(一般型)の導出証明

つづいて，一般系の証明も考えます。こちらは，接平面の法線ベクトルを考えます。

証明

曲面 $f(x,y,z)=0$ を $M\subset \mathbb{R}^3$ とする。このとき， $(a,b,c)$ における曲面の法線ベクトルは $\operatorname{grad} f(a,b,c)$ であることを示そう。

$I\subset \mathbb{R}$ とし， $\boldsymbol{r}\colon I\ni t \mapsto (x(t),y(t),z(t))\in M$ を， $(a,b,c)$ を通る，曲面 $M$ 上の滑らかな曲線とする。 $\boldsymbol{r}(t)$ は曲面 $M$ 上にあるから， $f(x(t),y(t), z(t))=0$ であり，この両辺を $t$ で微分すると，

f_xx'(t)+f_yy'(t)+f_z z'(t)=0.

すなわち，ベクトルの内積を用いて $\langle \operatorname{grad} f, \boldsymbol{r'}(t)\rangle=0$ とかける。これは， $\operatorname{grad} f$ は，接線方向 $\boldsymbol{r'}(t)$ と垂直であることを意味する。よって， $\operatorname{grad}f$ は曲面 $M$ の法線ベクトルである。