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ルベーグの収束定理(優収束定理)とその例題・証明

測度論
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ルベーグの収束定理 (優収束定理; dominated convergence theorem, DCT) とは,ルベーグ積分・測度論における「積分と極限の交換定理」の1つで,ルベーグ積分の根幹をなす定理といえます。

ルベーグの収束定理について,その主張と例題・証明を行っていきましょう。

ルベーグの収束定理(優収束定理)

ルベーグの収束定理(優収束定理)

ルベーグの収束定理(優収束定理)

定理1(ルベーグの収束定理)

(X,\mathcal{F},\mu)測度空間 \{f_n\} をその上の可測関数列とし,以下の2つの条件

  1. f_n \xrightarrow{n\to\infty} f
  2. |f_n|\le F \; (n\ge 1) となる可積分関数 F が存在する

の両方が成立するとき, f_n, f は可積分で

\color{red}\lim_{n\to\infty} \int |f_n-f|\,d\mu = 0


が成り立つ。特に,

\color{red}\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu =\int f\,d\mu


である。(このときの F優関数 (dominating function) と呼ぶ)

ここで f可積分 (integrable) とは, \int |f|\,d\mu<\infty が成り立つことでした。

後半の等式を書き換えると,

\color{red}\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu =\int \lim_{n\to\infty}f_n\,d\mu


ですから,積分と極限の交換定理ですね。ルベーグ積分はリーマン積分に比べて,積分と極限の交換が行いやすいというメリットがあり,その根幹をなすのがこの定理です。単調収束定理Fatouの補題と並び,ルベーグ積分における最も大事な定理と言っても良いでしょう。

なお, f_n \xrightarrow{n\to\infty} f |f_n|\le F \; (n\ge 1) の部分は,各点ではなく \mu\text{-a.e.} でも構いません。零集合( \mu(N)=0 となる集合 N)上の関数の値は積分に影響しないからです。

なお,可積分優関数 F の存在を仮定しないと反例があります。実際, f_n=1_{[n,n+1]} とすると,

\begin{gathered}\lim_{n\to\infty} \int 1_{[n,n+1]}\,d\mu =1,\\ \int \lim_{n\to\infty} 1_{[n,n+1]}\, d\mu = \int 0\,d\mu = 0 \end{gathered}


となって,値が一致していませんね。

有界収束定理

特に,有限測度空間 \mu(X)<\infty のときは,有界収束定理と呼ばれる以下の定理が成立します。「ルベーグの収束定理」の特別なバージョンです。

定理2(有界収束定理)

(X,\mathcal{F},\mu)\color{red} \mu(X)<\infty をみたす測度空間 \{f_n\} をその上の可測関数列とし,以下の2つの条件

  1. f_n \xrightarrow{n\to\infty} f
  2. |f_n|\le M\; (n\ge 1) となる定数 M が存在する( n によらず一様に有界)

の両方が成立するとき, f_n, f は可積分で

\color{red}\lim_{n\to\infty} \int |f_n-f|\,d\mu = 0


が成り立つ。特に,

\color{red}\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu =\int f\,d\mu


である。

これの証明はルベーグの収束定理を認めれば簡単です。 \mu(X)<\infty なら定数関数 M \ge 0 \int M\,d\mu = M\mu(X)<\infty で可積分ですから, M が可積分優関数となるからです。

ルベーグの収束定理(優収束定理)の例題

ルベーグの収束定理(優収束定理)

例題1.

\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}\, dx を求めよ。

n\ge 2 に対し, \left|\dfrac{1}{1+x^n}\right| \le \min\left\{1, \dfrac{1}{x^2} \right\} であり,右辺は n によらずかつ (0,\infty) 上可積分ですから,ルベーグの収束定理より

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}\, dx &= \int_0^\infty\lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+x^n}\, dx \\ &= \int_0^\infty \left(1_{[0,1)}+ \frac{1_{\{1\}}}{2} \right)\, dx \\&= 1 \end{aligned}


となりますね。優関数は n によらずに取らねばならないことに注意してください。たとえば,答案に \left|\dfrac{1}{1+x^n}\right| \le \min\left\{1, \dfrac{1}{x^n} \right\} と書いてしまうと減点されるでしょう。初学者はココを間違いがちです。

例題2.

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta \,d\theta を求めよ。

|\sin^n\theta|\le 1 かつ \sin^n \theta \xrightarrow{n\to\infty} 0,\; \text{a.e.} より,有界収束定理から

\lim_{n\to\infty} \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta \,d\theta = \int_0^{\pi/2} 0 \,d\theta = 0


ですね。なお, \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta \,d\theta 自体を計算したい場合は【ウォリス積分】sin,cosのn乗積分の導出と性質で解説しています。

もう一問やってみましょう。以下で,優関数は t に依存せず取らねばならないことに注意してください。

例題3.

\displaystyle \lim_{t\to\infty} \int_1^\infty tx e^{-tx^3} \,dx を求めよ。

f(t)= tx e^{-tx^3} とおくと, f'(t)= (x-tx^4) e^{-tx^3} から関数の増減を考えることで, |f(t)|\le 1/x^2 がわかります。右辺は (1,\infty) 上可積分より,ルベーグの収束定理が使えて, \lim_{t\to\infty} \int_1^\infty tx e^{-tx^3} \,dx = \int_1^\infty \lim_{t\to\infty}tx e^{-tx^3} \,dx=0


が求まります。

ここで,ルベーグの収束定理は「列の極限の定理」より,本来は点列 \{t_n\} t_n\xrightarrow{n\to\infty} \infty となるように取って適用せねばなりません。しかし,どんな点列をとっても積分の極限は 0 になりますから,結局 t\to\infty で考えてもいい訳です(→実数上関数の収束と数列の収束の同値性とその証明)。

ルベーグの収束定理(優収束定理)の証明

定理を再掲しましょう。

定理1再掲(ルベーグの収束定理)

(X,\mathcal{F},\mu)測度空間 \{f_n\} をその上の可測関数列とし,以下の2つの条件

  1. f_n \xrightarrow{n\to\infty} f
  2. |f_n|\le F \; (n\ge 1) となる可積分関数 F が存在する

の両方が成立するとき, f_n, f は可積分で

\lim_{n\to\infty} \int |f_n-f|\,d\mu = 0


が成り立つ。特に,

\lim_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu =\int f\,d\mu


である。(このときの F優関数 (dominating function) と呼ぶ)

ルベーグの収束定理の証明には,Fatouの補題を用います。

Fatouの補題

\{f_n\} を非負可測関数の列とする。このとき,

\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu.

これの証明はFatouの補題とその証明・具体例・活用例で行っています。これを認めて証明しましょう。

証明

|f_n|\le F n\to\infty として |f|\le F より, f_n, f の可積分性は明らか。

|f_n-f| \le |f_n|+|f|\le 2F より, 2F-|f_n-f|\ge 0 であるから,Fatouの補題より,

\begin{aligned}\int 2F\,d\mu &=\int \liminf_{n\to\infty} (2F-|f_n-f|)\,d\mu\\ &\le \liminf_{n\to\infty}\int (2F- |f_n-f|)\,d\mu.\end{aligned}


両端辺 \int 2F\,d\mu を引くと,0\le \liminf_{n\to\infty}\int - |f_n-f| \,d\mu ,すなわち

\limsup_{n\to\infty}\int |f_n-f| \,d\mu \le 0.


よって \lim_{n\to\infty}\int |f_n-f| \,d\mu=0 を得る。特に,

\begin{aligned} \left| \int f_n \,d\mu - \int f \,d\mu \right| &= \left| \int (f_n-f) \,d\mu \right|\\ &\le \int |f_n-f| \,d\mu\\ &\xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}


より,後半の等式も従う。

証明終

微分と積分の交換定理

ルベーグの収束定理を用いることで,直ちに微分と積分の交換定理が導けます。詳しくは以下で解説しています。

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