Casorati–Weierstrassの定理は，孤立特異点が真性特異点であるときの漸近挙動に関する定理です。これについて定理の主張を述べ，証明しましょう。
孤立特異点の分類は除去可能特異点・極・真性特異点の3つがありますが，これらについては本サイトは既知とします。以下で確認してください。
Casorati–Weierstrassの定理
以下では， a\in \mathbb{C},\, r>0 に対し，中心 a 半径 r の開円板を
D_r(a)=\{ z\in\mathbb{C}\mid |z-a|<r\}
と表記します。
Casorati–Weierstrassの定理
a\in\mathbb{C}, \, r>0 とし， f\colon D_r(a)\setminus \{a\}\to \mathbb{C} を正則とする。
a が真性特異点であるとき，像 f(D_r(a)\setminus \{a\}) は \mathbb{C} において稠密である。すなわち， \overline{f(D_r(a)\setminus \{a\})}=\mathbb{C} である。
稠密であることをさらに言い換えると，任意の b\in\mathbb{C} に対し，ある \{z_n\}\subset D_r(a)\setminus \{a\} が存在して， f(z_n)\to b とできることを指します。さらに， r>0 はいくらでも小さくできるので， z_n \to a とすることも可能です。
証明
背理法で示す。 w\in \mathbb{C}\setminus \overline{f(D_r(a)\setminus \{a\})} の存在を仮定する。
このとき，ある \delta>0 が存在して，
|f(z)-w|>\delta \quad (\forall z\in D_r(a)\setminus \{a\})
とできる。ここで，
g(z)= \frac{1}{f(z)-w}, \quad z\in D_r(a)\setminus \{a\}
とすると， g\colon D_r(a)\setminus \{a\}\to \mathbb{C} は正則であり，また |g|\le 1/\delta となるので， g は a の周りで有界。
よってリーマンの除去可能特異点定理より， a は g の除去可能特異点である。除去可能後も同じ記号 g を用いる。 g(a)=c\ne 0 のとき，
f(z)=\frac{1}{g(z)} +w\xrightarrow{z\to a} \frac{1}{c}+w
となるため，同じくリーマンの除去可能特異点定理より， a は f の除去可能特異点となるから真性特異点であることに矛盾する。
g(a)=0 のとき，複素関数の零点の定義と極との関係内で証明した通り， 1/g=f-w は a を極にもつ。よって， a は f の極となるからやはり矛盾する。
以上から，定理が示された。
証明終
より強い定理～ピカールの大定理～
Casorati–Weierstrassの定理より強い定理として，ピカールの大定理 (Great Picard’s Theorem) というのが知られています。「像 f(D_r(a)\setminus \{a\}) は \mathbb{C} において稠密」というのがCasorati–Weierstrassの定理ですが，より強く，
f(D_r(a)\setminus \{a\})=\mathbb{C} \text{ or } \mathbb{C}\setminus \{b\}
となることを主張するのが，ピカールの大定理です。 稠密どころか，取らない値は高々1点と言えるんです。すごいですね。
関連する記事
