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追い出しの原理とその厳密な証明~数列版・関数版~

微分積分学(大学)
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数学における「追い出しの原理」といわれるものについて,その定理と,大学で習うイプシロンエヌ論法イプシロンデルタ論法を用いた証明を行います。

数列版の追い出しの原理

まずは数列版について述べます。

数列版の定理の主張

定理(追い出しの原理;数列版)

実数の数列 \{b_n\}, \{a_n\} が,
\color{red} a_n \le b_n \,\,(n\ge 1 ) かつ \color{red} \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n =\infty となるとする。
このとき,

\color{red} \lim_{n\to\infty} b_n = \infty


が成立する。

同様に,a_n \ge b_n,\,\, \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty \implies \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty も従います。

追い出しの原理(数列版)のイメージ

早速証明しましょう。

数列版の証明

証明にはイプシロンエヌ論法を使います。これを理解していれば非常に簡単です。(→ イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に~数列の極限の定義~

収束先が \infty の方のみ証明しましょう。 - \infty のときは, a_n -a_n に置き換えれば同様です。

証明

K > 0 とする。 \lim_{n\to\infty} a_n = \infty であるから,ある N \ge 1 が存在して,

n \ge N \implies a_n > K


となる。このとき, b_n \ge a_n > K であるから,

n \ge N \implies b_n > K


も成立する。これは, \lim_{n\to\infty} b_n = \infty を意味する。

証明終

関数版の追い出しの原理

つづいて関数版についても述べましょう。

関数版の定理の主張

定理(追い出しの原理;関数版)

f,g -\infty \le a\le \infty の周りで定義されている実数値関数とし,
\displaystyle \color{red} f(x) \le g(x), \,\, \lim_{x\to a} f(x) =\infty であるとする。
このとき,

\color{red} \lim_{x\to a} g(x) = \infty


が成立する。

追い出しの原理(関数版)のイメージ

同様に, f(x) \ge g(x),\,\, \lim_{x\to a} f(x) = -\infty \implies \lim_{x\to a} g(x) = - \infty も従います。

関数版の証明

証明にはイプシロンデルタ論法を用います。これを理解していれば,こちらも簡単です。(→ イプシロンデルタ論法をわかりやすく丁寧に~関数の極限の定義~

-\infty < a < \infty のときのみ証明しましょう。 a = \pm\infty のときは数列のときと同様です。

証明

K > 0 とする。 \lim_{x\to a} f(x) = \infty より,ある \delta> 0 が存在して,

|x-a| < \delta \implies f(x) > K


となる。ここで, g(x) \le f(x) > K であるから,

|x-a| < \delta \implies g(x) > K


も成り立つ。これは \lim_{x\to a} g(x) =\infty を意味する。

証明終

似たような定理~はさみうちの原理~

同様のものに,はさみうちの原理というものがあります。主張のみ述べましょう。

数列版の定理の主張

定理(はさみうちの原理;数列版)

実数の数列 \{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\} において,
\color{red} a_n \le c_n \le b_n \,\, (n \ge 1 ) かつ \displaystyle \color{red}\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha \in\mathbb{R} とする。
このとき,

\color{red} \lim_{n\to\infty} c_n = \alpha


が成立する。

関数版の定理の主張

定理(はさみうちの原理;関数版)

f,g,h -\infty \le a\le \infty の周りで定義されている実数値関数とし,
\displaystyle \color{red} f(x) \le h(x) \le g(x), \,\, \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = b \in\mathbb{R} であるとする。
このとき,

\color{red} \lim_{x\to a} h(x) = b


が成立する。

これの証明は,以下を参照してください。

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