対角行列の定義と基本的な性質6つ

正方行列において，(左上から右下への)対角成分以外が0となる行列

\begin{pmatrix} a_{11} \\ & a_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn} \end{pmatrix}

を対角行列といいます。これの定義と性質を確認しましょう。

対角行列の定義

もう一度，正確な定義を述べることにします。

定義（対角行列）

$A = (a_{ij})$ を $n$ 次正方行列とする。

\color{red}i\neq j \implies a_{ij} = 0

となるとき，すなわち，

\color{red} A= \begin{pmatrix} a_{11} \\ & a_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn} \end{pmatrix}

のとき， $A$ を対角行列 (diagonal matrix) という。

対角行列は， $\color{red} \operatorname{diag} (a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} )$ のような書き方をすることもあります。

なお一般の行列に対し，， $a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn}$ のことを対角成分と言います。

少しだけ具体例を挙げましょう。

対角行列の具体例

対角成分以外は，必ずゼロでないといけませんが，対角成分にもゼロがあって構いません。

定理（対角行列の性質）

$A =(a_{ij}), B=(b_{ij})$ を $n$ 次の対角行列とする。このとき，

対角行列の和・定数倍はまた対角行列である。
$AB = BA= \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} \\ & a_{22}b_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn}b_{nn}\end{pmatrix} .$
特に，対角行列の積もまた対角行列である。
$A^\top = A.$ (転置行列)
特に，対角行列は対称行列である。
$\det A = a_{11}a_{22} \dots a_{nn}.$ (行列式)
$a_{ii}\neq 0 \,\, (1\le i\le n)$ のとき，
$A^{-1}= \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} \\ & a_{22}^{-1} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn}^{-1}\end{pmatrix}.$
特に，逆行列もまた対角行列である。
$A$ の固有値は $a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn}$ となる。

証明は簡単なので省略します。