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対角行列の定義と基本的な性質6つ

線形代数学
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正方行列において,(左上から右下への)対角成分以外が0となる行列

\begin{pmatrix} a_{11} \\ & a_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn} \end{pmatrix}


を対角行列といいます。これの定義と性質を確認しましょう。

対角行列の定義

もう一度,正確な定義を述べることにします。

定義(対角行列)

A = (a_{ij}) n 正方行列とする。

\color{red}i\neq j \implies a_{ij} = 0


となるとき,すなわち,

\color{red} A= \begin{pmatrix} a_{11} \\ & a_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn} \end{pmatrix}


のとき, A 対角行列 (diagonal matrix) という。

対角行列のイメージ図

対角行列は,\color{red} \operatorname{diag} (a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} ) のような書き方をすることもあります。

なお一般の行列に対し,, a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} のことを対角成分と言います。

対角行列の具体例

少しだけ具体例を挙げましょう。

対角行列の具体例

  • \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} は対角行列
  • \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} は対角行列
  • 零行列や単位行列は対角行列

対角成分以外は,必ずゼロでないといけませんが,対角成分にもゼロがあって構いません。

対角行列の基本的な性質6つ

定理(対角行列の性質)

A =(a_{ij}), B=(b_{ij}) n 次の対角行列とする。このとき,

  1. 対角行列の和・定数倍はまた対角行列である。
  2. AB = BA= \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} \\ & a_{22}b_{22} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn}b_{nn}\end{pmatrix} .
    特に,対角行列のもまた対角行列である。
  3. A^\top = A. (転置行列)
    特に,対角行列は対称行列である。
  4. \det A = a_{11}a_{22} \dots a_{nn}. (行列式)
  5. a_{ii}\neq 0 \,\, (1\le i\le n) のとき,
    A^{-1}= \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} \\ & a_{22}^{-1} && \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a_{nn}^{-1}\end{pmatrix}.
    特に,逆行列もまた対角行列である。
  6. A 固有値 a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} となる。

証明は簡単なので省略します。

その他の行列