無限級数 \sum_{n=1}^\infty a_n が絶対収束するとは，無限級数 \sum_{n=1}^\infty |a_n| が収束することをいい，条件収束するとは，絶対収束しないが，無限級数 \sum_{n=1}^\infty a_n が収束することをいいます。
絶対収束・条件収束の定義と具体例を紹介し，さらに発展的な記事をまとめましょう。
絶対収束・条件収束の定義
絶対収束・条件収束はどちらも級数
\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n
の収束性に関する話です。以下で，たとえば \sum_{n=1}^\infty a_n が収束する (converge) とは，上式の右辺が収束することを指すとします。
定義（絶対収束・条件収束）
\{a_n\} を実数列または複素数列とする。
- \sum_{n=1}^\infty |a_n| が収束するとき，無限級数 \sum_{n=1}^\infty a_n は絶対収束 (absolutely convergent) するという。
- \sum_{n=1}^\infty |a_n| は収束しないが， \sum_{n=1}^\infty a_n が収束するとき，無限級数 \sum_{n=1}^\infty a_n は条件収束 (conditionally convergent) するという。
絶対収束の「絶対」は絶対値からくる言葉です。1.が言えれば， \sum_{n=1}^\infty a_n が収束すると言えます(→級数が絶対収束すれば収束することの2通りの証明)。よって， \sum_{n=1}^\infty a_n が収束するとき，絶対収束するか・条件収束するかの2つに分類され，それ以外はあり得ません。
絶対値がついている \sum_{n=1}^N |a_n| に関しては， N\to\infty で単調増加です。上に有界な単調増加数列は収束するので，
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| が収束 \displaystyle \iff \sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty
です。特に右辺を絶対収束の意味で使うことが多いです。また，同様に
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| が発散 \displaystyle \iff \sum_{n=1}^\infty |a_n|=\infty
です。
一方で，絶対値のつかない \sum_{n=1}^\infty a_n は，振動する場合や -\infty に発散する場合もあるので，単に <\infty か =\infty かを考えるのはダメです。
絶対収束・条件収束の具体例
いくつか具体例を挙げておきましょう。
例1(等比級数).
z\in \mathbb{C} とする。 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty z^n は，
- |z|<1 のとき絶対収束し，
- |z|\ge 1 のとき発散する
z=1 のときは明らかでしょう。 z\ne 1 のとき，
\sum_{n=1}^\infty z^n = \frac{z(1-z^n)}{1-z}
ですから， |z|\ge 1 では発散しますね。また，|z|<1 のときは，
ですから，絶対収束します。
例2.
z\in \mathbb{C} とする。\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} は，
- |z|<1 のとき絶対収束し，
- |z|=1,\, z\ne 1 のとき条件収束し，
- |z|>1 または z=1 のとき発散する
まず， \sum_{n=1}^\infty 1/n=\infty に注意してください。よって， |z|\ge 1 では絶対収束しません。2.については，【級数の収束判定法】ディリクレの定理とその証明で証明しています。 |z|>1 のときは和の中身について， z^n/n は 0 に収束しないため，無限和は収束しません。
絶対収束・条件収束の性質まとめ
定理（絶対収束・条件収束の性質まとめ）
他にも，（絶対収束しないが）条件収束する十分条件を述べた定理があり，級数の収束・発散判定法13個まとめでまとめています。
なお，関数項級数における絶対収束・条件収束の話も面白いです。ただし，正確な主張を述べると長くなるので，関連記事のみリンクを貼っておきます。
