群・環・体

代数学における，環 (ring) ・可換環 (commutative ring) とは，足し算と掛け算を考えられる集合を指します。環の定義・可換環の定義について述べ，その具体例も挙げていきましょう。

代数学における「準同型写像・同型写像」とは，代数の演算の構造を保つ写像のことを指します。とくに，同じ代数構造を持つ2つの集合に同型写像が定まれば，その2つは「同じもの」として扱うことが可能です。準同型写像・同型写像の定義・性質について，群・環・体それぞれについて分けて解説していきましょう。

剰余群(商群)とは，群の剰余類の商集合に演算を入れて再び「群」と思ったものを指します。意味不明かもしれませんが，順を追って解説していきます。剰余群(商群)の定義にあたっては，well-defined の概念が非常に大事になってきますから，そこも踏まえてしっかりと理解していきましょう。

群論における剰余類(左剰余類・右剰余類)と剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)と部分群の指数の概念を，手順を追って解説していきます。少々長いですが，群論における基本的で重要な概念ですから，ゆっくりと理解していきましょう。

正規部分群 (normal subgroup) とは，gNg^{-1} ⊂ N が成立する部分群 H ⊂ G のことを言います。正規部分群の定義と準同型写像の核を用いた判定方法，具体例と大事な性質まで紹介します。

直交群・回転群(特殊直交群)とは，それぞれ直交行列・回転行列の集合のなす群を言います。これについて，定義と性質を述べましょう。

対称群・交代群はそれぞれ置換・偶置換を集めた集合を表します。「置換・偶置換」とは，行列式の定義に用いたやつです。これについて，詳しい定義や性質を解説しましょう。

巡回群 (cyclic group) とは，唯一つの元で生成される群を指します。巡回群について，その定義と例・性質4つを順番に紹介しましょう。