群・環・体

群・環・体

剰余群(商群)とは~定義・具体例・性質の証明~

剰余群(商群)とは,群の剰余類の商集合に演算を入れて再び「群」と思ったものを指します。意味不明かもしれませんが,順を追って解説していきます。剰余群(商群)の定義にあたっては,well-defined の概念が非常に大事になってきますから,そこも踏まえてしっかりと理解していきましょう。
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ラグランジュの定理とその証明・応用例【群論】

ラグランジュの定理(Lagrange's theorem)とは,有限群とその部分群の位数における基本的な定理で,有限群の分類などに非常に役に立つ定理です。ラグランジュの定理について紹介・証明し,応用例も挙げましょう。
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剰余類と部分群の指数~定義と具体例~

群論における剰余類(左剰余類・右剰余類)と剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)と部分群の指数の概念を,手順を追って解説していきます。少々長いですが,群論における基本的で重要な概念ですから,ゆっくりと理解していきましょう。
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正規部分群の定義と基本的な判定方法・具体例

正規部分群 (normal subgroup) とは,gNg^{-1} ⊂ N が成立する部分群 H ⊂ G のことを言います。正規部分群の定義と準同型写像の核を用いた判定方法,具体例と大事な性質まで紹介します。
群・環・体

直交群・回転群(特殊直交群)とは~定義と性質~

直交群・回転群(特殊直交群)とは,それぞれ直交行列・回転行列の集合のなす群を言います。これについて,定義と性質を述べましょう。
数論

中国剰余定理とその詳しい証明

中国剰余定理 (chinese remainder theorem) とは,複数の割り算の余りに関する定理です。中国式剰余定理とも言います。中国剰余定理について,その主張と詳しい証明を解説していきます。
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【置換群】対称群・交代群の定義と性質

対称群・交代群はそれぞれ置換・偶置換を集めた集合を表します。「置換・偶置換」とは,行列式の定義に用いたやつです。これについて,詳しい定義や性質を解説しましょう。
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巡回群とは~定義・例・性質~

巡回群 (cyclic group) とは,唯一つの元で生成される群を指します。巡回群について,その定義と例・性質4つを順番に紹介しましょう。
群・環・体

群の生成とは~定義と具体例~

群の部分集合によって生成 (generate) される部分群について,その定義と関連する話題を述べます。
群・環・体

群の位数・元の位数とは~定義・例・性質~

群の位数 (order)・元の位数 (order) について,その定義・具体例・性質を順番に解説しましょう。
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