線形代数学

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ファンデルモンドの行列式とその証明2つ

ファンデルモンドの行列式 (ヴァンデルモンドの行列式; Vandermonde determinant) といわれる特殊な行列式について紹介し,それを因数定理を用いた方法と帰納法を用いた方法の2通りの方法で証明します。
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線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明

線形写像における次元の等式 dim V = rank f + dim Ker f (= dim Im f + dim Ker f) について証明し,そのことから従う定理として,線形写像の全射・単射性とrankとの関係を述べましょう。
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行列式(det)の定義と現実的な求め方~計算の手順~

正方行列に対して定義される「行列式 (determinant) 」というスカラー量について,その定義を述べ,それから実際の計算方法を4つのステップに分けて解説します。計算の具体例も挙げます。行列式の計算は,線形代数学のテストで頻出ですので,確実に理解しましょう。
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上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ

正方行列における,上三角行列 (あるいは右三角行列)・下三角行列 (あるいは左三角行列)・三角行列 (triangular matrix) の定義と,その性質6つを紹介します。
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部分ベクトル空間の基底の延長により全体空間の基底が取れる証明

線形代数学,特にベクトル空間とその部分空間における「基底の延長定理」を紹介し,証明します。Vを有限次元ベクトル空間とし,Wをその部分空間とする。このときWの任意の基底に対して,その基底に元を付け加えることで,Vの基底にできる。
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ベクトル空間の和・直和の定義とその次元の等式の証明

ベクトル空間の和・直和についての定義と,次元に関する等式dim(V+W) = dim V + dim W - dim(V\cap W)の証明を行います。これは,基底を考えることで証明できます。最後には,3つ以上の和・直和について考えます。
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対角行列の定義と基本的な性質6つ

正方行列において,(左上から右下への)対角成分以外が0となる行列を対角行列 (diagonal matrix) といいます。これについてのちゃんとした定義と,性質6つを述べましょう。対角成分の定義も述べます。
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サラスの公式で3次の行列式を求める方法を図解

「サラスの公式」または「サラスの方法 (Sarrus' rule) 」とは,3次正方行列の行列式(det)を求める記憶術を指します。これがどういうものか,図解を交えて解説しましょう。
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転置行列の定義と基本的な性質11個の証明

行列における,「転置行列 (transposed matrix) 」について,定義を述べ,それから転置行列と逆行列の関係などの9個の基本的な性質を,自明なものを除き証明付きで紹介します。転置行列の求め方をイメージしやすくするために,図も添えます。
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線形写像が単射になる必要十分条件は核(Ker)が0になる証明

今回のテーマは,いつ線形写像が全射・単射になるか,特に「いつ単射になるか」については非常に大事なので,これについて証明します。主張は以下の通り: 線形写像が単射になるのと,Ker f = {0} となるのは同値である。
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