微分積分学(大学)

有限和のときは，和の順序を入れ替えても値は同じになりますが，無限和のときは，一般にそうとは限りません。しかし，絶対収束級数においては，項の順番を任意に入れ替えても，同じ値に収束することが知られています。この定理を紹介し，証明しましょう。

関数列が各点収束するとき，同程度連続であれば，それが一様収束であるという定理を紹介し，証明します。 \{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} を同程度連続な関数列とし，f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}に各点収束するなら，この収束は一様収束である。

最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる，連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ，注意点を列挙してから，証明します。最後に多次元の場合も扱います。

一様連続性は連続性より強い概念ですが，有界閉区間上であれば，連続性だけで一様連続が従います。この定理を証明していきましょう。一様連続性は数学において，便利な性質の一つです。そのため，連続から一様連続が従うのはとても嬉しいことです。

一様収束 (uniformly convergence) と各点収束 (pointwise convergence) の顕著な違いとして，連続関数列の極限が再び連続関数になるという性質が挙げられます。このことの証明と，なぜ一様収束でないとこの性質が言えないのかを考えてみましょう。