数学でよく出てくる「定義・公理・定理・命題・補題・系」について，何を表しているか，それらの違いを解説します。
これらを正しく理解しておくことは，数学を学ぶ上で必須ですので，完全理解を目指しましょう。
なお，これは一般的な専門数学における用語解説であり，他の文脈では意味が変わることがあります。
定義とは
- ある”ことがら”に対して，”名前”を付けることである。
- ある”ことがら”と”名前”を対応付けることである。
定義とは，辞書を作るのようなものです。辞書は，ある「もの」や「こと」に対して，名前が定められています。定義とはそういう「言葉」の意味を定めるものです。
具体例を挙げてみましょう。
「定義」の例
- 2で割れる整数を偶数，割れない整数を奇数という。
- 2辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形という。
- ある点に対して，その点から等距離にある点の集まりを円という。
ある「ことがら」に対して，それに名前を付けていますね。
なお，本サイトで定義を記すときは，一貫して緑のboxを用いています。
公理とは
- ある”性質”をあらかじめ(証明なしに)正しいと仮定してしまうことである。
- 論理を展開するうえでの”前提”を定めることである。
公理とは，性質の決まりごとです。これは，「なぜそうなるの」とか「証明して」と聞くのは NG で，「そういうもの」として定めたものです。
具体例を挙げましょう。
「公理」の例
- 異なる2点を通る直線はただ一つ存在する。
- 並行でない2直線はただ1点のみで交わる。
- 集合 A ,B が全く同じ要素を持てば，同じ集合である。
最初の2つは「ユークリッド幾何学」によるもので，最後は「公理的集合論」によるものです。多くの数学では，これらを無意識に仮定しているでしょう。
公理は正しいかどうか証明されませんから，別の”前提”を公理とすることもできます。
公理（すなわち前提）を変えると，全く別の世界が広がっていることだってあります。非ユークリッド幾何学がその一例です。
定理・命題・補題・系とは
命題とは
- 定義や公理を用いて，論理的な”証明”によって導かれる”性質”や”事実”のことである。
- 論理的な”証明”によって，真(正しい)か偽(間違っている)かが明確に分かる”主張”のことである。
命題とは，真偽が論理的に明確にわかるものです。ここでいう「論理的」とは，公理という「前提」の上で成り立つものです。
そういう点で，公理は真と認めているわけですから，公理も命題の一つと言えます。公理は「証明する必要のない命題」です。
また，「命題」は，他の命題を用いて示しても構いません。他の命題も，結局論理的な証明によって言えたものであるからです。
「命題」の例
- いま東京に住んでいる人は，いま日本に住んでいる。
- 偶数と偶数の和は偶数である。
- 二等辺三角形の2つの底角の大きさは等しい。
どれも真ですね。基本的に，教科書や論文などで単に「命題」といったときには，それは”真”である主張を意味します。もちろん，偽であるものを「命題」ということもあります。
定理・補題・系とは
- 命題のうち，特に重要なものを「定理」という。
- 命題のうち，特にそれ自体の重要度は低く，別の定理や命題を支えるために”補助的に”あるものを「補題」という。
- 命題のうち，他の定理(や命題)から簡単な証明で明らかに導かれる”当然の結果”をその定理(または命題)の「系」という。
定理・補題・系は全て「命題」の一種で，重要度が違うだけです。「重要度」とは実社会や数学にインパクトを与えるもの，他の定理に応用が利くもの，証明が難しいもの等を指します。
重要度をまとめてみると，
定理 > 命題 > 補題 > 系
となります。
※ 「系」は定理・命題に付随するため，付随する定理・命題によっては非常に重要なものである場合があります。
※ ここでいう「命題」とは，定理・補題・系と呼ばれない「残りもの」を意味します。
実際のところ，重要度とは非常に主観的なものです。ある論文では主結果であるため「定理」であっても，他の論文であれば「補題」になってしまうことだってあります。
数学ではさまざまな「命題」を扱うので，重要度が分かった方が都合が良いです。そのため，このようになっているんですね。
有名な例を少しだけ挙げておきます。
「定理」の例は高校数学ではお馴染みのものでしょう。
「補題」については，大学数学におけるツォルン (Zorn) の補題が有名ですが，有名であるとはすなわち「重要である」ということであり，あくまで伝統的に「補題」と呼んでいるだけです。
なお，本サイトで命題・定理・補題・系を記すときは，一貫して青のboxを用いています。
まとめ
最後に要旨をまとめておきましょう。
- 定義とは，ある物事に対して名前を付けることである。
- 公理とは，証明せずに認める”前提”的な性質である。
- 命題とは，真偽が論理的にはっきりと定まる主張である。
- 定理とは，命題の一種で，特に重要度の高いものを指す。
- 補題とは，命題の一種で，それ自身の重要度は低く，他の定理や命題をサポートするものを指す。
- 系とは，命題の一種で，他の定理・命題から簡単に従うものを指す。
数学を学ぶ上でこれら，特に定義・公理・定理の区別は必ず明確にせねばなりません。何が何だか分からないまま数学を学習しても，理解したとは言えないでしょう。
この記事が多くの方の参考になれば幸いです。
