「位相空間の間の写像が連続写像になる」という話を転換して，「間の写像が連続になるよう位相空間を定める」という議論を行うのが，誘導位相の考え方です。定義域側に定まる位相を始位相，終域側に定まる位相を終位相といいます。
本記事では，始位相・終位相の定義と具体例，普遍性と呼ばれる性質を紹介します。
始位相・終位相の定義
まずは始位相の定義・終位相の定義を一気に述べましょう。
始位相の定義
定義（始位相）
X を空でない集合とし， \{(Y_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in \Lambda} を位相空間の族とする。さらに \{ f_\lambda\colon X\to Y_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} を写像の族とする。
全ての \lambda\in \Lambda について， f_\lambda \colon X\to Y_\lambda が連続写像となる X の最小の位相(最弱の位相) \mathcal{O}_Xを， \{f_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} によって誘導される始位相 (initial topology) という。 \mathcal{O}_X は
\{ {f_\lambda}^{-1}(O_\lambda)\mid \lambda\in\Lambda,\, O_\lambda \in\mathcal{O}_\lambda\}
を準開基とする位相である。
言い換えると，
\left\{ \bigcap_{k=1}^n {f_{\lambda_k}}^{-1}(O_{\lambda_k})\middle| \begin{aligned} &n\ge 1, \, \lambda_k \in\Lambda_k, \\ &O_{\lambda_k} \in\mathcal{O}_{\lambda_k} , k= 1,\ldots, n \end{aligned}\right\}
を開基とする位相です。
また， \Lambda が1点集合のとき，すなわち， (Y, \mathcal{O}_Y) を位相空間， f\colon X\to Y を写像としたとき， f によって誘導される始位相 \mathcal{O}_X は
\mathcal{O}_X = \{ f^{-1}(O)\mid O\in\mathcal{O}_Y\}
です。定義に従えば右辺を準開基とする位相ですが，右辺自体が位相空間の定義をみたしているので，右辺が \mathcal{O}_X そのものとなっています。
X に離散位相を入れると，全ての f_\lambda は明らかに連続になります。連続性は，定義域の位相が大きい(強い)ほど成り立ちやすくなりますから(→位相空間における連続写像の定義と性質を詳しく)， X に入る最小の位相(最弱の位相)を求めていることに意味があります。
比較のため，すぐ終位相の定義を述べましょう。
終位相の定義
定義（終位相）
\{(X_\lambda,\mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda} を位相空間の族とし， Y を空でない集合とする。さらに \{f_\lambda \colon X_\lambda\to Y\}_{\lambda\in\Lambda} を写像の族とする。
全ての \lambda\in \Lambda について， f_\lambda \colon X_\lambda \to Y が連続写像となる X の最大の位相(最強の位相) \mathcal{O}_Yを， \{f_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} によって誘導される終位相 (final topology) という。 \mathcal{O}_Y は
\mathcal{O}_Y=\{ O\subset Y\mid \forall \lambda\in\Lambda,\, {f_\lambda}^{-1}(O)\in\mathcal{O}_\lambda\}
と表せる。
右辺が位相空間であることは，写像の像・逆像と集合との演算証明からわかります。
Y を密着位相とすると，全ての f_\lambda は明らかに連続になります。連続性は，終域の位相が小さい(弱い)ほど成り立ちやすくなりますから(→位相空間における連続写像の定義と性質を詳しく)，今度は Y に入る最大の位相(最強の位相)を求めていることに意味があります。
始位相・終位相の具体例
例1(恒等写像).
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。恒等写像 f\colon X\to (X,\mathcal{O}) によって誘導される始位相は \mathcal{O} であり，恒等写像 f\colon (X,\mathcal{O})\to X によって誘導される終位相も \mathcal{O} である。
例2(相対位相).
(X,\mathcal{O}) を位相空間とし， A\subset X とする。このとき，包含写像 \iota\colon A\to X によって誘導される， A 上の始位相 \mathcal{O}_A を相対位相 (relative topology) という(→相対位相と部分位相空間の定義・具体例5つ・性質5つ)。
となります。
例3(直積位相).
\{ (X_\lambda,\mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda} を位相空間の族とする。このとき，直積からの射影
p_\lambda \colon \prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda \to X_\lambda, \quad \lambda\in \Lambda
の族 \{p_\lambda\} によって誘導される，直積集合 \prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda に入る始位相を直積位相 (積位相，product topology) という。
例4(商位相).
(X,\mathcal{O}) を位相空間とし， X 上の同値関係 \sim による商集合 X/\sim を考える。このとき，自然な射影
p\colon X\to X/\sim
によって誘導される， X/\sim に入る終位相を商位相 (quotient topology) という。
例5(直和位相).
\{ (X_\lambda,\mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda} を位相空間の族とする。このとき，
\coprod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda = \{ (x_\lambda, \lambda) \mid x_\lambda\in X_\lambda, \, \lambda\in \Lambda\}
を直和とすると，自然な包含写像
が定まる。この族 \{\varphi_\lambda\} によって誘導される， \coprod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda 上の終位相を直和位相 (disjoint union topology) という。
もう少し具体的な例も挙げましょう。
例6(下限位相).
通常の意味で右連続である関数 f \colon \R\to \R 全体の集合を \mathcal{F} とする。 \mathcal{F} によって \R に誘導される始位相は，
\mathcal{O}_l=\{ [a,b)\mid a<b,\, a,b\in\R\}
を開基とする位相である。この位相を下限位相 (lower limit topology) といい， (\R,\mathcal{O}_l) をゾルゲンフライ直線 (Sorgenfrey line) という。ただし，終域には通常の位相が入っているものとする。
下限位相は， (a,b) も開集合に持ち， \R の通常の位相より真に大きい（細かい）位相です。
始位相・終位相の普遍性
普遍性と呼ばれる概念を紹介しておきましょう。圏論からくる概念です。
始位相の普遍性
定理1（始位相の普遍性）
X を空でない集合とし， \{(Y_\lambda, \mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in \Lambda} を位相空間の族とし，さらに \{ f_\lambda\colon X\to Y_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} を写像の族とする。
\{f_\lambda\} によって誘導される始位相を \mathcal{O}_X とする。さらに (W,\mathcal{O}_W) を位相空間とし， g\colon W\to X とする。このとき，次の2つは同値
証明
1.\implies 2.は連続写像の合成は連続なので明らか(→位相空間における連続写像の定義と性質を詳しく)。
2. \implies 1.について
O_\lambda \in \mathcal{O}_\lambda とすると， {f_\lambda}^{-1} (O_\lambda)\in \mathcal{O}_X である。また， (f_\lambda\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ {f_\lambda}^{-1} であり， f_\lambda\circ g は連続であるから， g^{-1}({f_\lambda}^{-1} (O_\lambda))\in\mathcal{O}_W である。
\mathcal{O}_X は \{ {f_\lambda}^{-1}(O_\lambda)\mid \lambda\in\Lambda,\, O_\lambda \in\mathcal{O}_\lambda\} を準開基とするため，\mathcal{O}_X–準開基の g による逆像が常に \mathcal{O}_W-開集合になると言えたので， g は連続である。
証明終
終位相の普遍性
定理2（終位相の普遍性）
\{(X_\lambda,\mathcal{O}_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda} を位相空間の族とし， Y を空でない集合とする。さらに \{f_\lambda \colon X_\lambda\to Y\}_{\lambda\in\Lambda} を写像の族とする。
\{f_\lambda\} によって誘導される終位相を \mathcal{O}_Y とする。さらに (Z,\mathcal{O}_Z) を位相空間とし， g\colon Y\to Z とする。このとき，次の2つは同値
証明
1.\implies 2.は連続写像の合成は連続なので明らか(→位相空間における連続写像の定義と性質を詳しく)。
2. \implies 1.について
(g\circ f_\lambda)^{-1}= {f_{\lambda}}^{-1}\circ g^{-1} に注意する。 O\in\mathcal{O}_Z とすると， g\circ f_\lambda は連続より， {f_{\lambda}}^{-1}(g^{-1}(O))\in\mathcal{O}_\lambda である。
終位相の定義より， g^{-1}(O)\in\mathcal{O}_Y となるから， g は連続である。
証明終
