「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は，高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。これは，実数の連続性と数列の極限を厳密に定義する \varepsilon \text{-} N 論法を用いて証明されます。これについて紹介しましょう。
定理の主張～有界な単調増加列の収束～
定理（上に有界な単調増加数列は収束する）
実数の数列 \{a_n\} は(広義)単調増加(すなわち \color{red} a_n \le a_{n+1} )とし，かつ上に有界(すなわち \color{red} a_n < K ) とする。
このとき，この数列は収束する。
なお， \{-a_n\} を考えることで，下に有界な単調減少数列が収束することもわかります。
早速証明しましょう。
証明
証明
上に有界なので，\alpha = \sup\{a_n \mid n \ge 1\} <\infty と定める。
\sup の定義より，任意の \varepsilon > 0 に対して，ある N \ge 1 が存在して，
a_N > \alpha-\varepsilon
が成り立つ(→上限,下限(sup,inf)の定義と最大,最小(max,min)との違い)。式変形して， 0\le \alpha- a_N < \varepsilon となる。
\{a_n \} は単調増加であったから，
である。これは， \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha を意味する。
証明終
最初の， \sup の存在は実数の連続性により保証されますから，実数の連続性が深く関係していることが分かります(→デデキント切断による実数の構成を解説)。
最後は，数列の極限の定義を使っています。これについては以下の記事で詳細に解説していますから，参照してください。
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