測度論 測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明
R^Nにおける可測集合は，それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし，零集合でない可測集合を2つ用意して，A+Bを考えると，これは開集合を含むようになります。シュタインハウスの定理(Steinhaus's theorem)といわれる本定理を紹介し，証明しましょう。
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測度論 【ヴィタリ集合】ルベーグ非可測集合の存在とその証明
ヴィタリ集合(vitali set)とは，剰余群R/Qにおける各代表元の集合を指し，選択公理を仮定することで存在が認められます。ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合の例として有名です。ヴィタリ集合について，その構成とルベーグ非可測であることの証明を行いましょう。
線形代数学 ハメル基底とは～有理数上実数の基底～
ハメル基底 (Hamel basis)とは，実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度，関連する話題を紹介しましょう。
線形代数学 ベクトル空間には必ず基底が存在する証明～選択公理から～
任意のベクトル空間には，必ず基底が存在することを証明します。証明には，選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
線形代数学 Spanの意味とは【線形結合】
Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包；linear span)を指します。これは，Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
微分方程式 バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明
バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは， 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち，その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて，主張と証明を行いましょう。
群・環・体 体の定義と具体例4つ
数学，とくに代数学における体 (field) とは，四則演算が定義された集合のことを言います。一般に，代数学においては，群はかけ算・わり算が定義された集合，環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合，体は足し算・引き算・かけ算・わり算（四則演算）が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に，体の定義と具体例を述べましょう。
数論 【n!がpで割れる回数】ルジャンドルの定理とその証明
ルジャンドルの定理，あるいはルジャンドルの公式(Legendre's formula)とは，n!が素数がpで何回割れるかを表したものです。これについて，定理の主張と証明を行いましょう。
測度論 本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か
測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは，零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について，ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
関数解析学 ミンコフスキーの不等式とその証明
ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは，L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について，その証明を行いましょう。