関数解析学 ノルムの同値性と有限次元空間のノルムは全て同値である証明
あるベクトル空間には，複数のノルムの定め方があります。しかし，それらのノルムは結局同じ「収束」を扱うことになる場合があります。このとき，ノルムは同値であるといいます。ノルムの同値性の具体的な定義と，有限次元ベクトル空間のノルムは全て同値であること，また，逆に無限次元ベクトル空間ではノルムが同値にならないことがあることを紹介します。
関数解析学 
関数解析学 【内積空間】 内積の定義・具体例と中線定理
内積が定まったベクトル空間のことを，内積空間といいます。内積とは，2つのベクトル同士を「測る」ツールであり，内積が定まるベクトル空間は，「直交」といった概念を導入することが可能です。内積について，その定義と，具体例，さらにノルムとの関係を述べ，ノルムとの関係を扱う上で必要な中線定理についても記述しましょう。
関数解析学 ノルムとは～ノルム空間の定義と具体例～
ノルム(norm)とは，ベクトルの大きさを定める量のようなものです。ノルムを定義することで，ベクトル同士の「距離」を考えることができるようになり，収束の議論ができるようになります。ノルム・ノルム空間の定義を述べ，その簡単な具体例を紹介しましょう。
解析学(大学)その他 【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく
コーシーの関数方程式 (Cauchy's functional equation) とは，f(x+y)=f(x)+f(y)となる関数方程式のことを言います。これの解fを求め，さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。
測度論 測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明
R^Nにおける可測集合は，それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし，零集合でない可測集合を2つ用意して，A+Bを考えると，これは開集合を含むようになります。シュタインハウスの定理(Steinhaus's theorem)といわれる本定理を紹介し，証明しましょう。
測度論 【ヴィタリ集合】ルベーグ非可測集合の存在とその証明
ヴィタリ集合(vitali set)とは，剰余群R/Qにおける各代表元の集合を指し，選択公理を仮定することで存在が認められます。ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合の例として有名です。ヴィタリ集合について，その構成とルベーグ非可測であることの証明を行いましょう。
線形代数学 ハメル基底とは～有理数上実数の基底～
ハメル基底 (Hamel basis)とは，実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度，関連する話題を紹介しましょう。
線形代数学 ベクトル空間には必ず基底が存在する証明～選択公理から～
任意のベクトル空間には，必ず基底が存在することを証明します。証明には，選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
線形代数学 Spanの意味とは【線形結合】
Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包；linear span)を指します。これは，Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
微分方程式 バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明
バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは， 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち，その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて，主張と証明を行いましょう。