スカラー行列とは～定義と大事な性質～

スカラー行列とは，単位行列を用いて $A=aI_n$ のように書ける行列のことで，まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて，定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。

スカラー行列の定義

定義（スカラー行列）

\large \color{red} A=\begin{pmatrix} a \\ & a&& \huge{0} \\ & & \ddots \\ &\huge{0}&& \ddots \\ &&&& a \end{pmatrix}

のように，対角成分以外は全て $0$ で，対角成分は全て等しい行列をスカラー行列 (scalar matrix) という。

特に， $n$ 次正方行列がスカラー行列のとき， $n$ 次スカラー行列といいます。

スカラー行列とは要するに単位行列の定数倍の行列，すなわち $\color{red} A = aI_n$ のような行列を指します。「スカラー行列」という名前は，ほぼスカラー（定数）のように扱える行列だということです。

単位行列や零行列もスカラー行列の一種です。

定理（スカラー行列の性質）

$A$ を $n$ 次スカラー行列とする。このとき，任意の $n$ 次正方行列 $B$ に対して，

\large \color{red}AB=BA

が成り立つ。逆に，これが任意の $n$ 次正方行列 $B$ について成り立つならば， $A$ はスカラー行列である。

前半はほぼ自明でしょう。「逆に，」以降の方が大事です。よって後半を証明していきましょう。

後半の証明

$A=(a_{ij})$ とする。

$B$ を $(j,i)$ 成分のみ $1$ でそれ以外が $0$ の行列とする ( $B=E_{ji}$ 行列単位)。このとき，

であり， $AB = BA$ なので，

\begin{gathered} a_{i1} =\dots = a_{i\, i-1} = a_{i\, i+1} =\dots = a_{in}= 0 ,\\ a_{1j}=\dots =a_{j-1\, j} = a_{j+1\, j} =\dots = a_{nj}=0 \end{gathered}

かつ $a_{ii} =a_{jj}$ である。 $i,j$ を任意に動かすことで， $k\ne l$ のとき， $a_{kl}=0$ であり，また

a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}

なので， $A$ はスカラー行列である。

証明終

なお，スカラー行列は対角行列の1つですから，対角行列の性質がすべて成立します。対角行列の性質は以下で解説しています。