複素関数論における最も重要で驚異的な定理の一つが一致の定理（identity theorem）です。
この定理は，「正則関数の局所的な情報（一部の点での値）が，領域全体の大域的な情報を完全に決定してしまう」という定理で，正則関数の凄さを表しています。
一致の定理について，その証明を簡潔に分かりやすく紹介します。
一致の定理
まずは基本的なバージョンの一致の定理 (identity theorem) を述べましょう。
定理1（一致の定理）
D\subset \mathbb{C} を領域（連結開集合）とし， f\colon D \to \mathbb{C} を正則関数とする。
このとき，もし零点集合 Z_f =\{ z\in D\mid f(z)=0\} が D 内に集積点をもつならば，
\large f(z) = 0 \quad (\forall z \in D)である。対偶を考えると，領域 D 上の正則関数 f\colon D\to \mathbb{C} が定数関数でなければ， f の零点が存在すれば孤立点であることもわかる。
「 Z_f が D 内に集積点 \alpha をもつ」とは，ある \{ z_n\}\subset D が存在して， f(z_n)=0 かつ z_n \xrightarrow{n\to\infty} \alpha\in D とできるということです。 \alpha\in D となることがポイントです。たとえば， f(z)=\sin (1/z) の零点集合 Z_f = \{ 1/n\pi\mid n=\pm1,\pm2,\ldots\} は 0 を集積点にもちますが， 0 は f の定義域に入らないので，上の定理は使えません。
ちなみに \alpha\in D とかきましたが，このとき f の連続性より，f(\alpha)=0 も言えるので， \alpha\in Z_f になります。
定理1は，以下のように一般化できます。
定理1の系（2つの正則関数の一致）
D\subset \mathbb{C} を領域（連結開集合）とし， f,g\colon D \to \mathbb{C} を正則関数とする。もし，集合 \{ z \in D \mid f(z) = g(z) \} が D 内に集積点をもつならば，
\large f(z) = g(z) \quad (\forall z \in D)である。
これの証明は h = f - g に対して定理1を使えばよいです。
一致の定理のすごいところは，局所的に一致しているだけで，大域的に全ての値が等しいと言える点です。正則関数は，局所的な値が全ての値を決めてしまうんですね。これは実関数ではあり得ないことで，たとえば C^\infty 級関数 f(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & x> 0, \\ 0 & x \le 0 \end{cases} は，零点集合が集積点をもちますが，全体として 0 に一致しているわけではありません。
一致の定理(定理1)の証明
一致の定理の証明は，大きく分けて次の2つのステップで行われます。
順に証明していきましょう。
証明
零点集合 Z_f\subset D の集積点を \alpha\in D としよう。
1.集積点周りのある開円板上で f=0 であることを示そう
f は正則，D は開集合であるから， \alpha を中心とするある開円板 D_r(\alpha) = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - \alpha| < r \} \subset D 上でテイラー展開が可能で，
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - \alpha)^nと表せる。全ての n で c_n=0 なら第一段階の証明は終わるので， c_n \neq 0 となる最小の整数を m とすると，
\begin{aligned} f(z)&= (z - \alpha)^m \sum_{k=0}^{\infty} c_{m+k} (z - \alpha)^k \\ &= (z-\alpha)^m \left\{ c_m+(z-\alpha) g(z)\right\} \end{aligned}となる正則関数 g(z) がとれる。関数の連続性から， \alpha の十分小さな開円板 D_\delta(\alpha) \;( 0 < \delta \le r) をとれば，任意の z\in D_\delta(\alpha)\setminus\{\alpha\} で f(z) \neq 0 とできる。これは， \alpha が集積点であることに矛盾する。
よって，すべての n \ge 0 に対して c_n = 0 でなければならず，開円板 D_r(\alpha) において f = 0 が示せた。
2.f が D 内で常に 0 となることを示そう
A=\operatorname{Int}(Z_f)，すなわち Z_f の内部(開核)とする。定義より明らかに A は開集合であり，上の議論から \alpha\in A なので， A は空でない。
A が閉集合であることを示そう。 z\in\overline{A} とすると，ある \{ z_n\}\subset A\subset Z_f が存在して， z_n \to z とできる。f(z_n)=0 なので， z は Z_f の集積点である。ゆえに前半の議論により， z\in A であるから， A は閉集合である。
A\subset Z_f\subset D は空でない開かつ閉集合なので， D の連結性より， A=D となる。よって， Z_f=D なので， f(z) = 0 \quad (\forall z \in D) を得る。
証明終
一致の定理の応用
定理1の系で述べたように，局所的に一致しているだけで，大域的に全ての値が等しいと言える点で，この一致の定理は強力です。ある開集合 U 上で定義された正則関数が，もし正則性を保ったまま \mathbb{C} 全体（あるいはその部分集合 U\subset \widetilde{U}）上に拡張できるなら，その拡張は一意的であるということが言えます。実際， U 上で一致していたら定理1の系より， \mathbb{C} 全体（あるいはその部分集合 U\subset \widetilde{U}）上で一致していると言えるからです。
たとえば，実関数 x\mapsto e^x の一つの拡張は複素関数 z\mapsto e^z ですが，本定理より，拡張はこの一つしかないと言えます。この一意の拡張のことを解析接続 (analytic continuation) と言います。
解析接続については，また別の記事で詳しく解説しましょう。
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