線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明

線形写像における次元の等式 $\dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f$ を証明し，そのことから従う定理として，線形写像の全射・単射性と $\operatorname{rank}$ との関係を述べましょう。

線形写像の次元定理 dim V = rank f + dim ker f
1. 次元定理の証明
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線形写像の次元定理 dim V = rank f + dim ker f

定理（線形写像の次元定理）

$V, W$ をベクトル空間， $f\colon V\to W$ を線形写像とする。このとき，

\color{red} \dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f

となる。

ここで $\operatorname{rank}$ とは，日本語では階数と呼ばれ， $\color{red} \operatorname{rank} f = \dim \operatorname{Im} f$ と定義されます。

定義中の $\dim$ すなわち，ベクトル空間の次元については以下で解説しています。

定義中の $\operatorname{Im}, \operatorname{Ker}$ すなわち，線形写像における像・核に関しては，以下で解説しています。

図で描くと，以下のようなイメージです。

早速証明しましょう。

次元定理の証明

証明の概略は図のような感じです。カッコ内は基底を表します。

証明

$\operatorname{Im} f, \operatorname{Ker}f$ はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明)。

$r = \dim \operatorname{Im} f, \, s = \dim \operatorname{Ker} f$ とし， $\operatorname{Im} f, \, \operatorname{Ker} f$ の基底をそれぞれ $\{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_r} \} ,\, \{ \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \}$ とする。

$1 \le i \le r$ に対し， $\boldsymbol{w_i} \in \operatorname{Im} f$ より，ある $\boldsymbol{v^\prime_i} \in V$ が存在して， $f(\boldsymbol{v^\prime_i}) = \boldsymbol{w_i}$ とできる。

$\{ \boldsymbol{v^\prime_1}, \boldsymbol{v^\prime_2}, \dots , \boldsymbol{v^\prime_r} , \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \}$ が $V$ の基底になっていることを示せば， $\dim V = \operatorname{rank} f + \dim \operatorname{Ker} f$ は， $r+s = r + s$ となって証明が終わる。よってこれを示そう。

$V$ の基底になっていることを示すには，

それらが一次独立であること
任意の $\boldsymbol{v} \in V$ がそれらの一次結合でかけること

を示せばよい。順番に示していこう。

一次独立であること

k^\prime_1 \boldsymbol{v^\prime_1} + \cdots + k^\prime_r \boldsymbol{v^\prime_r} + k_1 \boldsymbol{v_1} + \cdots + k_s \boldsymbol{v_s} = \boldsymbol{0}

とおく。両辺を $f$ でうつすと，

k^\prime_1 \boldsymbol{w_1} + \cdots + k^\prime_r \boldsymbol{w_r} = \boldsymbol{0}

となり， $\{ \boldsymbol{w_1}, \boldsymbol{w_2}, \dots , \boldsymbol{w_r} \}$ は $\operatorname{Im} f$ の基底なので， $k^\prime_1 = \cdots = k^\prime_r = 0$ となる。このとき，元の式は

k_1 \boldsymbol{v_1} + \cdots + k_s \boldsymbol{v_s} = \boldsymbol{0}

となるが，これは $\operatorname{Ker} f$ の基底の一次結合なので， $k_1 = \cdots = k_s = 0$ もわかる。

よって $k^\prime_1 = \cdots = k^\prime_r = k_1 = \cdots = k_s = 0$ なので，一次独立である。

任意の $\boldsymbol{v} \in V$ がそれらの一次結合でかけること

$f(\boldsymbol{v}) \in \operatorname{Im} f$ より，

f(\boldsymbol{v}) = l'_1 \boldsymbol{w_1} + \cdots + l'_r \boldsymbol{w_r}

と書ける。 $f(\boldsymbol{v^\prime_i}) = \boldsymbol{w_i}$ なので，

f(\boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots- l^\prime_r \boldsymbol{v^\prime_r}) = \boldsymbol{0}

となり，特に $\boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots -l^\prime_r\boldsymbol{v^\prime_r} \in \operatorname{Ker} f$ なので，これは $\operatorname{Ker} f$ の基底の一次結合で書けて，

\boldsymbol{v} - l^\prime_1\boldsymbol{v^\prime_1} - \cdots -l^\prime_r\boldsymbol{v^\prime_r} = l_1\boldsymbol{v_1} +\cdots +l_s\boldsymbol{v_s}.

よって， $\boldsymbol{v}$ は $\{ \boldsymbol{v^\prime_1}, \boldsymbol{v^\prime_2}, \dots , \boldsymbol{v^\prime_r}, \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \dots , \boldsymbol{v_s} \}$ の一次結合で書けている。

証明終

線形写像の次元定理 dim V = rank f + dim ker f

次元定理の証明

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