べき級数 \sum a_n x^n におけるアーベルの定理（アーベルの連続性定理）について，その定理の主張と応用例，そして証明を述べましょう。実数の場合と複素数の場合の両方を別々に扱います。
べき級数におけるアーベルの定理【実数版】
定理（アーベルの連続性定理【実数版】）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n の収束半径を R \in (0, \infty) とする。
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n R^n が収束するとき，べき級数の収束は [0,R] においても一様であり，したがって \displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n は (-R, R] 上連続である。すなわち，
\color{red}\lim_{x\to R-} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n .
x = -R で収束するときも同様である。
微分積分学における重要な定理の1つです。証明する前に，まずは応用例を見てみましょう。
アーベルの定理の応用例
アーベルの定理を用いれば，有名な級数の和を求めることができます。例を2つ挙げてみましょう。
例1.
\log(1+x) のマクローリン展開
\log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
の収束半径は |x| < 1 である(→log(1+x)の0でのテイラー展開(マクローリン展開))。
交代級数の収束性により，右辺は x=1 で収束する。
これより，アーベルの定理から，両辺 x \to 1- (左極限)とすると
\color{red} \log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots
がわかる。
正確な議論の流れは以下の通りです。
- 等式 \log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots は |x|<1 で成立する。
- 右辺で x=1 を代入した級数も収束する。
- よって，アーベルの定理より，等式の右辺について， x\to 1- としたときの値は，形式的に x=1 を代入したものに一致する。
- 左辺は x=1 で連続であるため， x\to 1- としたものと x=1 を代入したものは同じである。
- 3,4より，結果的に元の等式は x=1 を代入しても成立する。
もう一つ例を挙げてみましょう。
例2.
\tan^{-1} x = x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
の収束半径は |x|<1 である。交代級数の収束性により，右辺は x=1 で収束する。
これより，アーベルの定理から，両辺 x \to 1- (左極限)とすると
\color{red} \frac{\pi}{4} = 1- \frac{1}{3} +\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots
がわかる。
同じく，正確な議論を書き下してみましょう。
- 等式 \tan^{-1} x = x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots は |x|<1 で成立する。
- 右辺で x=1 を代入した級数も収束する。
- よって，アーベルの定理より，等式の右辺について， x\to 1- としたときの値は，形式的に x=1 を代入したものに一致する。
- 左辺は x=1 で連続であるため， x\to 1- としたものと x=1 を代入したものは同じである。
- 3,4より，結果的に元の等式は x=1 を代入しても成立する。
アーベルの定理【実数版】の証明
さて，アーベルの定理（アーベルの連続性定理）を証明してみましょう。
証明
まず収束半径が R=1 で， x=1 で収束する場合を示す。
\varepsilon > 0 とする。仮定より， \sum a_n は収束するから，ある N \ge 1 が存在して， n\ge m \ge N ならば
\left|\sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon
が成立する（コーシー列）。ここで， m \ge N を任意に一つ固定して， s_n = \sum_{k=m}^n a_k と定めよう。すると，任意の 0 \le x \le 1 に対して，
となり，よって \{\sum_{k=1}^n a_k x^k\}_n は [0,1] 上の一様コーシー列である。従って，べき級数 \sum a_n x^n は [0,1] 上一様収束し，連続関数の一様収束極限は連続であるから， 連続性もわかる。
一般の R の場合では，べき級数の x を Rx に置換することで同様である。
証明終
無事に証明できましたね。
べき級数におけるアーベルの定理【複素数版】
複素関数論におけるアーベルの連続性定理も紹介・証明しておきましょう。
定理（アーベルの連続性定理【複素数版】）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n z^n の収束半径を R \in (0, \infty) とする。
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n R^n が収束するとき， z が |z|<R かつ |R-z|/(R-|z|) が有界であるようにして， z\to R となるならば， \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n z^n は \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n R^n に収束する。
z = Re^{i\theta} で収束するときも同様である。
|R-z|/(R-|z|) が有界であるようにして，という点が少し曲者ですね。これは「ストルツの角 (Stolz angle) から近づく」という言い方をすることもあります。
これは，図形的に解釈すると「実軸上の部分 (-\infty, R) に対し対称な角領域で，R を頂点とし，角が 180^\circ より小さいものの中に z がある」ということです。図で描くと以下のような感じです。
複素数版のアーベルの定理の証明
複素数版の証明も与えておきましょう。方針は実数のときとほぼ同じです。
証明
まず収束半径が R=1 で， z=1 で収束する場合を示す。
\varepsilon > 0 とする。仮定より， \sum a_n は収束するから，ある N \ge 1 が存在して， n\ge m \ge N ならば
\left|\sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon
が成立する（コーシー列）。ここで， m \ge N を任意に一つ固定して， s_n = \sum_{k=m}^n a_k と定めよう。すると，「 |z|<1 または z=1 」かつ「 |1-z|\le K(1-|z|) 」をみたす任意の z に対して，
となり，よって \{\sum_{k=1}^n a_k z^k\}_n は 「 |z|<1 または z=1 」かつ「 |1-z|\le K(1-|z|) をみたす z の領域上の一様コーシー列である。従って，べき級数 \sum a_n z^n は この上で一様収束し，連続関数の一様収束極限は連続であるから， 連続性もわかる。
一般の R の場合では，べき級数の z を Rz に置換することで同様である。
証明終
