余因子行列の定義と余因子展開～逆行列になる証明～

余因子・余因子行列の定義と余因子展開について図解付きで述べ，余因子行列が逆行列の行列式倍になることの証明を行いましょう。

余因子・余因子行列の定義
1. 余因子の定義
2. 余因子行列の定義
行列式の余因子展開
余因子行列と逆行列

余因子・余因子行列の定義

まずは，余因子と余因子行列の定義を述べましょう。

余因子の定義

定義（余因子）

\scriptsize\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1\,j-1} & a_{1j} & a_{1\,j+1} &\dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{i-1\,1} & \dots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j} & a_{i-1\,j+1} &\dots & a_{i-1\,n}\\ a_{i1} & \dots & a_{i\,j-1} & a_{ij} & a_{i\,j+1} &\dots & a_{in} \\ a_{i+1\,1} & \dots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j} & a_{i+1\,j+1} &\dots & a_{i+1\,n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n\,j-1} & a_{nj} & a_{n\,j+1} &\dots & a_{nn} \end{pmatrix}

に対し，その $i$ 行と $j$ 列を除いた $n-1$ 次正方行列の行列式の $(-1)^{i+j}$ 倍

\scriptsize (-1)^{i+j}\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} &\dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{i-1\,1} & \dots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} &\dots & a_{i-1\,n}\\ a_{i+1\,1} & \dots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} &\dots & a_{i+1\,n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} &\dots & a_{nn} \end{vmatrix}

を $(i,j)$ 余因子 (cofactor) という。

「 $i$ 行と $j$ 列を除いた」の部分をわかりやすく図解すると，以下のようになります。

余因子はただの「数」であって行列ではありません。

余因子を求めるには，行列式の計算が必要になります。これについては，以下で解説しています。

余因子行列の定義

定義（余因子行列）

$A$ を $n$ 次正方行列とし， $\tilde{a}_{ij}$ をその $(i,j)$ 余因子とする。このとき， $\color{red} \tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})^\top = (\tilde{a}_{ji})$ を余因子行列 (adjugate matrix) という。

$(i,j)$ 余因子を $(i,j)$ 成分に据えた行列を考え，その行列の転置を取ったもの(転置行列)が余因子行列なわけですね。

行列式の余因子展開

余因子展開とは，もとの行列の行列式を余因子を用いて展開することです。以下の定理を証明しましょう。

定理（余因子展開）

$A$ を $n$ 次正方行列とし， $\tilde{a}_{ij}$ をその $(i,j)$ 余因子とする。このとき， $1\le k \le n$ に対し，

\color{red}\begin{aligned}\det A &= a_{k1} \tilde{a}_{k1} + a_{k2} \tilde{a}_{k2} +\dots + a_{kn}\tilde{a}_{kn} \\ &= a_{1k} \tilde{a}_{1k} + a_{2k} \tilde{a}_{2k} +\dots + a_{nk}\tilde{a}_{nk}. \end{aligned}

また， $k \ne l$ とすると，

\color{red} \begin{aligned} 0 &= a_{k1} \tilde{a}_{l1} + a_{k2} \tilde{a}_{l2} +\dots + a_{kn}\tilde{a}_{ln} \\ &= a_{1k} \tilde{a}_{1l} + a_{2k} \tilde{a}_{2l} +\dots + a_{nk}\tilde{a}_{nl}. \end{aligned}

も成立する。

余因子展開を図にすると，以下のようになります。

行列式を，より小さな行列式の演算で書き表しているといえますね。

早速証明しましょう。

証明

$\begin{aligned}\det A &= a_{k1} \tilde{a}_{k1} + a_{k2} \tilde{a}_{k2} +\dots + a_{kn}\tilde{a}_{kn}\end{aligned}$ について

$\det A$ の定義式を $a_{kj} \;\;(1\le j\le n)$ に着目して整理すると， $a_{kj}$ の係数は， $A$ の第 $k$ 行を $\begin{pmatrix}0 & \dots& 0 &1& 0& \dots &0 \end{pmatrix}$ (第 $j$ 列のみ $1$ ) としたものに等しく，それは $\tilde{a}_{kj}$ に等しい。

2つ目の等式も同様である。（あるいは， $A^\top$ (転置行列) で考えて，上を適用してもよい。）

$\begin{aligned} 0 &= a_{k1} \tilde{a}_{l1} + a_{k2} \tilde{a}_{l2} +\dots + a_{kn}\tilde{a}_{ln} \end{aligned}$ について

前半の証明より，この右辺は $A$ の第 $l$ 行を $\begin{pmatrix} a_{k1} & \dots & a_{kn} \end{pmatrix}$ に置き換えた行列 $B$ の行列式に等しい。 $B$ の第 $k$ 行と第 $l$ 行は同じであり，同じ行の存在する行列式の値は0であるから， $\det B = 0$ である。

2つ目の等式も同様である。（あるいは， $A^\top$ (転置行列) で考えて，上を適用してもよい。）

証明終