微分積分学(大学)

微分積分学(大学)

上極限,下極限(limsup,liminf)の定義と例と性質2つ

数列における上極限(limsup)・下極限(liminf)の定義をし,その具体例と重要な性質2つ(上極限・下極限に収束する部分列の存在,上極限・下極限が一致 ⇒ 極限の存在)を確認・証明していきましょう。
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上限,下限(sup,inf)の定義と最大,最小(max,min)との違い

実数の部分集合における上限(sup)・下限(inf)の定義を述べ,それが最小上界・最大下界になることの証明をし,さらに上限(sup)・下限(inf)と最大値(max)・最小値(min)との違いを考えます。
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上界・下界とは~定義と具体例~

実数の部分集合における上界 (upper bound)・下界 (lower bound)についてその定義と具体例を紹介します。
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逆双曲線関数の導出とグラフと性質(微分・積分など)まとめ

逆双曲線関数ともいう,双曲線関数 sinh, cosh, tanh の逆関数 sinh^{-1}, cosh^{-1}, tanh^{-1} (arcsinh, arccosh, arctanh) について,その定義と導出,グラフと性質(微分・積分など)をまとめましょう。
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双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義と性質22個まとめ

双曲線関数sinh, cosh, tanhの定義とグラフについて解説し,さらにその性質22個(加法定理・極限・微分・積分・テイラー展開など)を三角関数sin, cos, tanと比較しながらまとめます。
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リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例

高校や大学教養数学で学習する定積分はリーマン積分 (Riemann integral) と呼ばれ,リーマン和を用いて定義されます。これについて,その定義と単調または連続関数はリーマン積分可能であること,そしてリーマン積分不可能な関数の例について,順に述べましょう。
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有理数・無理数の稠密性の定義とその証明

大学教養の微分積分学における実数上の「稠密性(ちゅうみつせい, dense)」の概念について,その定義を紹介し,さらに有理数・無理数が実数上稠密であることを証明します。最後には位相空間論における稠密性についても触れます。
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実数上関数の収束と数列の収束の同値性とその証明

実数上の関数において,「関数の収束 ⇔ 数列の収束」という定理を紹介します。微分積分学において,両方の収束を結びつける重要な定理です。f(x) (x→a) が収束する必要十分条件は任意の f(a_n) (a_n→a)が収束することである。
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有界とは何か~有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)~

数学における有界 (bounded) とは,簡単に言うと無限遠に飛んでいかないということです。特に,有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)の3つについて,その定義を,イメージ図を添えて解説します。最後には,有界に関する話題も列挙します。
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上に有界な単調増加数列は収束することの証明

「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は,高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。これは,実数の連続性と数列の極限を厳密に定義するε-N論法を用いて証明されます。これについて証明しましょう。
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