線形写像と行列の間には，非常に深い関係があります。それは，線形写像は行列を用いて表現することができるというものです。このことについて，具体例も交えながら紹介していきましょう。
【表現行列】線形写像の行列表示
V, W をそれぞれ m,n 次元ベクトル空間とし，その基底を \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\ldots, \boldsymbol{v_m}\}, \;\{\boldsymbol{w_1},\boldsymbol{w_2},\ldots, \boldsymbol{w_n}\} と定めます。このとき， V, W の全ての元は，基底の一次結合でかけることに注意しましょう。
ここで， f\colon V \to W を線形写像とします。すると，
\begin{aligned} f(\boldsymbol{v_1}) &= a_{11}\boldsymbol{w_1}+a_{21}\boldsymbol{w_2}+\cdots+ a_{n1}\boldsymbol{w_n}, \\ f(\boldsymbol{v_2}) &= a_{12}\boldsymbol{w_1}+a_{22}\boldsymbol{w_2}+\cdots+ a_{n2}\boldsymbol{w_n}, \\ \cdots &\\ f(\boldsymbol{v_m}) &= a_{1m}\boldsymbol{w_1}+a_{2m}\boldsymbol{w_2}+\cdots+ a_{nm}\boldsymbol{w_n}. \\ \end{aligned}
と定めることができます。（線形写像は，基底の行先を決めるだけで，すべての元の行先が決まることに注意しましょう。実際， f(c_1\boldsymbol{v_1}+\cdots + c_m\boldsymbol{v_m} ) = c_1f(\boldsymbol{v_1}) +\cdots+ c_m f(\boldsymbol{v_m}) を用いればよいです）
上の m 個の式は，行列の積を考えると， n \times m 行列を用いて，形式的に
\begin{aligned} &\begin{pmatrix} f(\boldsymbol{v_1}) & f(\boldsymbol{v_2}) & \dots & f(\boldsymbol{v_m}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{w_1} & \boldsymbol{w_2} & \dots & \boldsymbol{w_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21}& a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \dots& a_{nm} \end{pmatrix} \end{aligned}
とかくことができます。このときの， n \times m 行列 A=(a_{ij}) を f の表現行列（行列表示）といいます。
ちゃんと定義をまとめておきましょう。
【表現行列】線形写像の行列表示の定義
定義（線形写像の表現行列）
V, W を m,n 次元ベクトル空間とし， その基底を \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\ldots, \boldsymbol{v_m}\}, \{\boldsymbol{w_1},\boldsymbol{w_2},\ldots, \boldsymbol{w_n}\} とする。
線形写像 f\colon V\to W に関して，これらの基底を用いて
とかけるとき，このときの n\times m 行列 A を f の表現行列（行列表示）という。
ここで，表現行列は基底の取り方に依存することに注意しましょう。
全ての線形写像は，基底を定めるごとに表現行列を取ることができ，逆に基底と n\times m 行列を定めると，それをもとに線形写像 f \colon V\to W を取ることが可能です。
とにかく，表現行列とは，
\color{red} ( f(\boldsymbol{v_1}) , f(\boldsymbol{v_2}) , \dots , f(\boldsymbol{v_m}) )= ( \boldsymbol{w_1} , \boldsymbol{w_2} , \dots , \boldsymbol{w_n}) A
となる行列 A のことだ，と覚えてもよいでしょう。
表現行列の求め方の具体例
例題1.
V, W の基底を \{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}\}, \; \{ \boldsymbol{w_1},\boldsymbol{w_2},\boldsymbol{w_3}\} とし，
\begin{aligned} f(\boldsymbol{v_1}) &= 2\boldsymbol{w_1} - \boldsymbol{w_3}, \\ f(\boldsymbol{v_2}) &= 3\boldsymbol{w_2}+\boldsymbol{w_3} \end{aligned}
であるとする。このときの f の行列表示を答えよ。
ですから，求める行列表示は \color{red} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} ですね。
例題2.
例題1において， V の基底を
\begin{aligned}\boldsymbol{v'_1} &= \boldsymbol{v_1}, \\ \boldsymbol{v'_2} &= \boldsymbol{v_1}+\boldsymbol{v_2} \end{aligned}
とし， W の基底を
としたときの行列表示を求めよ。
上より，
\begin{aligned}\boldsymbol{w_1} &= \boldsymbol{w'_1}, \\ \boldsymbol{w_2} &= \boldsymbol{w'_2}-\boldsymbol{w'_1} , \\ \boldsymbol{w_3}&= \boldsymbol{w'_3}-\boldsymbol{w'_2}\end{aligned}
ですから，
となり，結局，
です。したがって，求める行列表示は \color{red} \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} ですね。このように，基底を変えると，表現行列は変わります。
なお，基底の変換も行列でかけます。それを用いれば，今回の表現行列は，例題1の答えと，その行列との積でかけることが知られています。これについては，以下で解説しています。
例題3.
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} に対し，線形写像 f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 を
f\colon \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
と定める。このとき， \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} を \mathbb{R}^2 の基底としたときの， f の行列表示を求めよ。
\boldsymbol{e_1} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} , \; \boldsymbol{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} と定めると，今回の写像は
\begin{pmatrix} f(\boldsymbol{e_1}) & f(\boldsymbol{e_2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{e_1} & \boldsymbol{e_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
となることが分かりますから，求める行列表示は， \color{red} A そのものになりますね。
表現行列(線形写像の行列表示)の性質
表現行列の性質を2つ紹介しましょう。
成分表示と表現行列
基底などの表記は定義のものを適用することし，以下には書かないことにします。
定理（成分表示と表現行列）
線形写像 f\colon V\to W の表現行列を A とする。加えて， \boldsymbol{x} \in V に対し， \boldsymbol{y} = f(\boldsymbol{x}) であり，これらは基底を用いて
\begin{aligned} \boldsymbol{x} &= x_1\boldsymbol{v_1}+x_2\boldsymbol{v_2} + \dots + x_m \boldsymbol{v_m} , \\ \boldsymbol{y} &= y_1\boldsymbol{w_1}+y_2\boldsymbol{w_2}+\dots + y_n\boldsymbol{w_n} \end{aligned}
と表せるとする。このとき，
である。
成分表示の係数だけ見て，各元の行先を考えられるということですね。
証明
\begin{aligned} & \begin{pmatrix} \boldsymbol{w_1}& \dots & \boldsymbol{w_n}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\\ &= \boldsymbol{y} = f(\boldsymbol{x}) \\ &= f(x_1\boldsymbol{v_1}+\cdots + x_m \boldsymbol{v_m}) \\ &= x_1f(\boldsymbol{v_1})+\cdots x_m f(\boldsymbol{v_m}) \\ &= \begin{pmatrix} f(\boldsymbol{v_1}) & \dots f(\boldsymbol{v_m}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{w_1}& \dots & \boldsymbol{w_n}\end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \end{aligned}
であるから，
である。
証明終
線形写像の合成と表現行列の積
定理（線形写像の合成は表現行列の積である）
U,V,W をそれぞれ \{ \boldsymbol{u_1}, \dots ,\boldsymbol{u_l}\}, \; \{ \boldsymbol{v_1}, \dots ,\boldsymbol{v_m}\}, \; \{ \boldsymbol{w_1}, \dots ,\boldsymbol{w_n}\} を基底とするベクトル空間とし， f\colon U\to V,\; g\colon V\to W を線形写像とする。
f, g の表現行列を A_f, A_g とし，線形写像 g\circ f の表現行列を A_{g\circ f } とするとき，
\color{red}A_{g\circ f} = A_g A_f
が成立する。
線形写像の合成は，表現行列の積に対応しているということですね。
最初に行列の積の定義を見たとき，理解し難いものがあったと思います。行列はそもそも，線形写像を表すツールだと思うと，「行列の積は，線形写像の合成に対応するように定められている」と考えることができ，非常に合理的なわけです。
証明しましょう。
証明
関数 h に対して，( h(\boldsymbol{v_1}), \ldots ,h(\boldsymbol{v_m} )) を単に h(\boldsymbol{v_1}, \ldots , \boldsymbol{v_m}) とかくことにしよう。
\begin{aligned} f\colon (\boldsymbol{u_1},\dots, \boldsymbol{u_l})&\mapsto (\boldsymbol{v_1},\dots, \boldsymbol{v_m})A_f, \\ g\colon (\boldsymbol{v_1},\dots, \boldsymbol{v_m})&\mapsto (\boldsymbol{w_1},\dots, \boldsymbol{w_n})A_g \end{aligned}
であることと，線形性から，
となる。したがって， g\circ f の表現行列は A_gA_f である。
証明終
