可換環，特に整域における素元 (prime element) と既約元 (irreducible element) の概念について，その定義・具体例・性質を解説しましょう。関連する概念として，倍元・約元・同伴の定義も紹介します。

可換環論における，素イデアルとは整数における素数の概念を拡張したものであり，極大イデアルとは，真のイデアルのうち，包含関係に関して極大なものを指します。素イデアル・極大イデアルについて，その定義・具体例・性質を解説しましょう。

剰余環 (factor ring)，あるいは商環(quotient ring)とは，両側イデアルによる同値類で割った商集合に入る環構造を指します。剰余環を調べることは，環論において最も基本的なことの一つです。剰余環について，定義がwell-definedであることと，具体例を挙げましょう。

乗法群 (multiplicative group)，あるいは単元群 (group of units) とは，環や体のうち，乗法逆元の存在する元たちのなす群のことを指します。乗法群について，その定義と具体例を紹介しましょう。

代数学，特に環論における左イデアル・右イデアル・両側イデアルとは，それぞれ左・右・両側から元をかけても不変な，乗法単位元を持たなくても良い部分環のことを言います。群でいう正規部分群に対応する，環論における重要な概念です。イデアルについて，その定義と具体例・性質について順番に解説していきましょう。

整域とは，零因子が0しかない可換環のことをいいます。すなわち，ab=0ならば，a=0またはb=0です。整域について，その定義と具体例・そして基本的性質4つの証明を行いましょう。なお，本記事では一貫して，環は乗法単位元を持ち，零環(自明な環)でないとします。

零環(the zero ring) (自明な環 trivial ring)とは，たった一つの元しか持たない環のことを言います。これについて，その定義と，零環(自明な環)が0=1をみたす唯一の環であることの証明をしましょう。

代数学における，環 (ring) ・可換環 (commutative ring) とは，足し算と掛け算を考えられる集合を指します。環の定義・可換環の定義について述べ，その具体例も挙げていきましょう。